無限深方形阱

處於盒子裏的粒子可以自由移動於無法穿越的阱壁內。當阱壁之間距離很微小的時候,可以觀察到量子效應。例如,粒子在某位置的機率比在另外位置的機率大,粒子的能級是離散的。

物理學裏,無限深方形阱(infinite square potential),又稱為無限深位勢阱(infinite potential well),是一個阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子,永遠地束縛於無限深位勢阱內,無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題,稱為無限深方形阱問題,又稱為無限深位勢阱問題盒中粒子問題(particle in a box problem),是一個理論問題。假若,阱內只有一個粒子,則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若,阱內有兩個粒子,則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若,這兩個粒子是完全相同的粒子,則問題又複雜許多,稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏,只討論單粒子無限深方形阱問題。

經典力學裏,應用牛頓運動定律,可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞彈性碰撞,粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動,碰撞來,碰撞去,而速率始終保持不變。在任意時間,粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。

量子力學裏,這問題突然變得很有意思。許多基要的概念,在這問題的解析中,呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化,應用薛丁格方程,可以很容易地,雖然並不是很直覺地,求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數,是表達粒子量子態波函數。每一個能量本徵函數的能量,只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是,離散能級譜中最小的能級不是 0 ,而是一個有限值,稱為零點能量!這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。

更加地,假若測量粒子的位置,則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置,找到粒子的機率是 0 ,絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是,這些結果所根據的原理,早已在許多精心設計的實驗中,廣泛地證明是正確無誤的。

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