Nombre de Fermat | notes et références

Notes et références

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  1. Lettre XLIV à Frénicle, 18 octobre 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, Paris, lire en ligne), p. 209.
  2. Dans une autre lettre à Frénicle il écrit aussi : « Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine à me dédire. », Lettre XLIII, août ? 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 206.
  3. Lettre XLV, 25 décembre 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 213. p. 234 donne cette citation infidèle (7 n'a pas à être dans la liste) : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537 sont nombres premiers […] ».
  4. « Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi » « Toutes les puissances du nombre 2 dont les exposants sont des termes de la progression géométrique du même nombre 2, donnent, si on les augmente d'une unité, des nombres premiers ».
  5. « propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur […] Quaeritur demonstratio illius propositionis, pulchræ sane, sed et verissimæ » (« quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration […] Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie », lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.
  6. Lettre CI, point 5, dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 433-434. Fermat énumère des questions qui se traitent par sa méthode de la descente infinie. Il place parmi ces questions sa conjecture (erronée) sur les nombres dits depuis nombres de Fermat et il ne dit plus, comme il l'avait fait dans des lettres antérieures, qu'il n'a pas encore trouvé de démonstration de cette conjecture.
  7. C'est l'interprétation que donne H.M. Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer, 1977, p. 24, prenant position contre les vues contraires de E.T. Bell, The Last Problem, New York, 1961, p. 256.
  8. a et b (en) E. Sandifer, « How Euler did it — Factoring F5 », sur eulerarchive.maa.org, .
  9. (la) L. Euler, « Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus », Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 6,‎ , p. 102-103 (lire en ligne).
  10. (la) L. Euler, « Theoremata circa divisors numerorum », Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, vol. 1,‎ , p. 20-48 (lire en ligne) (présenté en 1747/48).
  11. Décrite dans (en) John J. O'Connor et Robertson, « Perfect numbers », dans MacTutor History of Mathematics archive, lire en ligne).
  12. Fermat, dans sa lettre XL à Mersenne de juin ? 1640 (Œuvres de Fermat, t. 2, p. 195-199), découvre pour M37 le diviseur 6 × 37 + 1, après avoir détaillé sa méthode sur l'exemple connu M11 = 23 × 89. Dans sa lettre XLIII à Frénicle (août ? 1640) déjà citée, il signale de plus, pour M23, le diviseur 47.
  13. (en) Kent D. Boklan et John H. Conway, « Expect at most one billionth of a new Fermat Prime! », The Mathematical Intelligencer,‎ (10.1007/s00283-016-9644-3, lire en ligne).
  14. (en) Leonid Durman et Luigi Morelli, « History — All researchers of Fermat numbers, who found at least one factor », sur Distributed search for Fermat number divisors.
  15. Boklan et Conway 2017 appellent « nombres premiers de Fermat » (avec un t en italique) les nombres premiers de la forme 2k + 1 avec k entier positif ou nul, qui sont donc 2 et les « vrais » nombres premiers de Fermat.
  16. Pour des résultats plus récents, voir par exemple (en) Wilfrid Keller, « Prime factors k · 2n + 1 of Fermat numbers Fm and complete factoring status », .
  17. (en) « PrimeGrid’s Proth Prime Search - 57*2^2747499+1 (official announcement) », Primegrid, .
  18. (en) Richard P. Brent, Factorization of the Tenth and Eleventh Fermat Numbers, février 1996.
  19. Depuis le 27 mars 2010, on connaît six des diviseurs premiers de F12, mais toujours pas sa décomposition complète. Voir [1].
  20. Avant 2010, le plus petit tel nombre était F14. Le 3 février 2010, un diviseur à 54 chiffres de F14 a été découvert par Tapio Rajala, Département de Mathématiques et Statistiques, k est un nombre à 49 chiffres.
  21. Suite OEISA051158 de l'OEIS.
  22. (en) Solomon W. Golomb, « On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities », Canad. J. Math., vol. 15,‎ , Canad. J. Math., vol. 15,‎ , lire en ligne).
  23. (en) D. Duverney, « Transcendence of a fast converging series of rational numbers », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 130, no 2,‎ , p. 193-207.
  24. (en) Generalized Fermat Number », MathWorld.
  25. (en) Generalized Fermat Prime search.
  26. (en) H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, lire en ligne), p. 102.
  27. (en) The prime database.
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