Anneau unitaire | définition

Définition

Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations (appelées addition et multiplication) qui se comportent comme celles des entiers relatifs au sens précis suivant[3] : A muni de l'addition est un groupe abélien[4], la multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un élément neutre.

De façon plus détaillée, un anneau est un ensemble A dans lequel sont données[5] deux lois de composition interne, notées + et , vérifiant les propriétés suivantes :

  • Quels que soient les éléments a, b et c appartenant à l'ensemble A :
    • (a + b) + c = a + (b + c)
    • a + b = b + a
    • (ab) ∙ c = a ∙ (bc)
    • a ∙ (b + c) = ab + ac
    • (b + c) ∙ a = ba + ca
  • Il existe un élément, noté 0 et appelé élément neutre de la loi de composition interne +, tel que pour tout élément a appartenant à l'ensemble A :
    • a + 0 = 0 + a = a
  • Tout élément a appartenant à l'ensemble A possède un opposé, noté –a, qui vérifie :
    • a + (–a) = (–a) + a = 0
  • Il existe un élément, noté 1 et appelé élément neutre de la loi de composition interne , ou élément unité[6], tel que pour tout élément a appartenant à l'ensemble A :
    • a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est elle aussi commutative[3]. En explicitant comme ci-dessus, c'est un anneau dans lequel l'identité suivante est vérifiée quels que soient les éléments a et b de l'ensemble A :

  • ab = ba.

Note terminologique : « anneaux » sans neutre multiplicatif

Une minorité d'auteurs définissent un anneau sans exiger l'existence d'un élément neutre pour la multiplication[7]. Le lecteur à la recherche d'informations sur cette structure, qui n'est pas l'objet du présent article, se réfèrera à l'article pseudo-anneau. Du fait de cette variabilité de définition, il peut être prudent lorsqu'on craint une confusion de préciser anneau unitaire (ou unifère[1]) lorsqu'on évoque un anneau au sens de cet article, un anneau ayant un neutre multiplicatif.

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