Anneau unitaire | construction d'anneaux

Construction d'anneaux

Deux des concepts les plus fondamentaux pour produire des exemples d'anneaux ont déjà été évoqués plus haut :

Ces deux procédés nécessitent de disposer préalablement d'un anneau. Pour initialiser les constructions, les techniques suivantes sont particulièrement importantes :

  • Étant donné un groupe abélien E, l'ensemble End(E) des endomorphismes de groupe de E muni de l'addition des fonctions et de la composition est un anneau. En appliquant cette construction à E = ℤ2, on obtient un premier exemple non commutatif, isomorphe à l'anneau des matrices (2, 2) à coefficients entiers.
    • Si E est muni d'une structure plus riche que celle de groupe abélien, notamment de module sur un anneau plus étoffé que celui des entiers relatifs, voire d'espace vectoriel, les endomorphismes de groupe respectant la structure additionnelle peuvent constituer un sous-anneau de celui fourni à l'exemple précédent. Par exemple, si E = ℝ2 vu comme espace vectoriel sur ℝ, l'ensemble de ses endomorphismes d'espace vectoriel End(ℝ2) est un anneau, sous-anneau du gigantesque anneau End(ℝ2) de ses endomorphismes de groupe. Il est isomorphe à l'anneau des matrices (2, 2) à coefficients réels.
    • En fait, tout anneau A est sous-anneau d'un tel anneau de morphismes de ℤ-module, à savoir End(A). Si l'on définit la : AA par la(x) = ax, on constate que la est un endomorphisme pour la structure de groupe abélien, puis que ala est un morphisme d'anneaux injectif de A dans End(A).
  • Étant donné un anneau A, on sait construire un anneau de polynômes à coefficients dans A, noté A[X].

Un autre outil fondamental, à partir d'anneaux déjà connus, est le produit direct :

  • Étant donnée une famille d'anneaux Ai, on construit un produit de ces anneaux (dont l'ensemble sous-jacent est le produit cartésien des ensembles Ai).
    • Un cas remarquable est celui où tous les Ai sont un même anneau A. L'ensemble sous-jacent à leur produit est alors l'ensemble AI des applications de I vers A, muni de l'addition et de la multiplication usuels des applications.
    • Lorsque les Ai constituent un système projectif, on construit comme sous-anneau de leur produit un anneau limite projective du système. Cette procédure permet de construire les anneaux de séries formelles sur un anneau commutatif ou l'anneau ℤp des entiers p-adiques.

Certaines techniques sont du domaine de l'algèbre commutative :

  • La localisation consiste, étant donné un anneau intègre, à ajouter des éléments de sorte à rendre possible la division par certains des éléments de l'anneau (le concept existe aussi pour des anneaux commutatifs quelconques, mais est un peu plus technique). Lorsqu'on autorise tous les dénominateurs (sauf 0), on construit le corps des fractions de l'anneau intègre, ainsi le corps ℚ des nombres rationnels à partir de l'anneau des entiers ; lorsqu'on autorise les seuls dénominateurs n'appartenant pas à un idéal maximal donné, on construit un anneau local, construction particulièrement fréquente en géométrie algébrique.
  • La complétion (en) d'un anneau topologique fournit le corps des nombres réels à partir de celui des nombres rationnels. Les exemples de limite projective donnés plus haut (séries formelles, entiers p-adiques) peuvent aussi être rattachés à ce mode de construction.

Le point de vue des algèbres associatives unitaires fournit un dernier outil :

  • Le produit tensoriel peut être utilisé de diverses façons pour construire de nouveaux anneaux. En premier lieu, étant donné un anneau commutatif R et un R-module V, l'algèbre tensorielle de V est une algèbre associative unitaire remarquable, donc un anneau remarquable. En second lieu, le produit tensoriel d'algèbres permet de « multiplier » entre eux deux anneaux d'une façon très différente de la construction du produit direct donnée plus haut.
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