Пучок (математика)

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными данными. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

Интуитивное определение

Грубо говоря, пучок на топологическом пространстве задаётся данными двух типов с двумя дополнительными свойствами.

Первая часть данных заключена в отображении, сопоставляющем каждому открытому подмножеству пространства некоего (абстрактного) множества . Можно требовать вдобавок, чтобы на этом множестве была бы задана определённая структура, но пока что ограничимся лишь тем, что это просто множество.

Вторая часть данных состоит в том, что для каждой пары открытых множеств зафиксировано некоторое отображение , называемое сужением. (Оно действует аналогично операции сужения на область функций, заданных на )

Требуется также, чтобы эти данные обладали следующими двумя свойствами:

  • Аксиома нормализации:  — множество из единственного элемента.
  • Аксиома склейки: если задана согласованная система элементов (согласованность означает, что элементы и имеют одно и то же ограничение на область ), то они однозначно определяют элемент из (где  — объединение всех ), ограничениями которого на соответствующую область все они являются.
другие языки