Snop (matematyka)

Snop (fr. faisceau) – trójka uporządkowana składająca się z przestrzeni topologicznej przestrzeni Hausdorffa oraz lokalnie homeomorficznej surjekcji [1].

Zamiast często pisze się albo albo [2].

Przestrzeń nazywana jest bazą snopa, a przekształcenie projekcją snopa. Dla każdego zbiór jest nazywany włóknem snopa nad punktem [1].

Jeśli to sekcją snopa nad nazywa się taką funkcję ciągłą że Zbiór wszystkich sekcji snopa nad jest oznaczany przez [1].

Włókna snopa są często wyposażane w struktury algebraiczne: grupy, pierścienia lub modułu[1].

Snopy umożliwiają połączenie w jednym własności lokalnych z własnościami globalnymi obiektów matematycznych (np. funkcji). Własności lokalne są formułowane w języku elementów zbiorów gdzie zbiór jest małym otoczeniem punktu bazy, a własności globalne są wyrażane w języku elementów zbioru [1].

Przykłady

Przekształcanie kwadratu na torus.
  • Torus można sobie wyobrażać jako przestrzeń ilorazową płaszczyzny przez grupę izometrii płaszczyzny generowaną przez przesunięcia o wektory i Przestrzeń ilorazowa powstaje przez utożsamienie punktów płaszczyzny, których współrzędne różnią się o liczby całkowite. W taki sposób każdy punkt jest utożsamiony z wnętrzem kwadratu jednostkowego, początkiem układu współrzędnych, albo z punktami należącymi do wnętrza boków kwadratu jednostkowego leżących na osiach współrzędnych. Zatem utożsamiane są punkty przeciwległych boków kwadratu jednostkowego (ten ostatni etap ilustruje animacja zamieszczona obok). Przekształcenie przyporządkowujące punktowi płaszczyzny jego obraz na torusie jest lokalnym homeomorfizmem, a trójka (płaszczyzna, torus, przekształcenie) realizuje snop grup.
  • Przestrzeń kiełków funkcji gładkiej na parazwartej rozmaitości gładkiej z projekcją gdzie i tworzy snop.
Inne języki