Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynkąpierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia oznaczana jako spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

dla każdego elementu pierścienia .

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to . Jeśli jest homomorfizmem pierścieni i jest jedynką pierścienia , to jest jedynką pierścienia . W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia

Dowolny pierścień można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim zdefiniować dwa działania:

,
.

Łatwo sprawdzić, że struktura z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz, że para jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

jest podpierścieniem pierścienia izomorficznym z . Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie w . Pierścień jest przy tym ideałem pierścienia .

Jeśli oznaczyć jako , to gdzie oraz , można zapisać w postaci .

Inne języki
español: Anillo unitario
français: Anneau unitaire
日本語: 単位的環
svenska: Unitär ring