Schoventheorie

De schoventheorie is een tak van de hogere wiskunde. Ze werd vanaf de jaren 1930 ontwikkeld ter ondersteuning van de cohomologie van variëteiten en vond later belangrijke toepassingen in de algebraïsche meetkunde. Centraal staat de notie van een schoof, die aan de open verzamelingen van een topologische ruimte bepaalde algebraïsche structuren koppelt, bijvoorbeeld abelse groepen, ringen of modulen.

In de algebraïsche meetkunde is de onderliggende topologische ruimte een functiering A met de Zariski-topologie.

Formele definitie

We geven de definitie van een (pre)schoof van abelse groepen. Voor andere categorieën van algebraïsche objecten zoals ringen, modulen enz. verloopt de definitie analoog, al moet telkens de juiste soort morfismen gehanteerd worden.

Een preschoof van abelse groepen bestaat uit een topologische ruimte en, voor elke open deelverzameling U van X, een abelse groep en, voor ieder paar open verzamelingen , een groepshomomorfisme, restrictie genaamd:

zodat aan de volgende eigenschappen is voldaan:

  1. is de triviale groep {0}
  2. is de identieke transformatie van
  3. als , dan is

De elementen van heten de secties van de schoof over U.

De werking van de restrictie-afbeelding van U tot V op een sectie s van wordt soms genoteerd zoals een restrictie van een functie in de verzamelingenleer:

Een schoof is een preschoof die bovendien aan de volgende voorwaarden voldoet:

4. als {Vi}i een open overdekking is van een open verzameling U, en heeft de eigenschap voor alle i, dan is s=0
5. als {Vi}i een open overdekking is van een open verzameling U, en we hebben elementen si in voor elke i die onderling compatibel zijn:
,

dan bestaat er een zodat telkens