層 (数学)

数学における(そう、 : sheaf, : faisceau)とは、 位相空間上で連続的に変化する様々な数学的 構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層(ぜんそう、presheaf)とよばれる。

定義

前層

(X, T)位相空間とする。X 上の集合の前層 F とは、以下のデータが与えられているものである:

  • X開集合 UT に対し 集合 F(U),
  • 開集合の包含関係 UV に応じて制限写像(せいげんしゃぞう、restriction map)と呼ばれる写像
ρ V
U
 
ρU, V のように記すこともある)。

これらは次の2つの条件を満たさなければならない:

各開集合 U に対応付けられる F(U) がどれも加群の構造を持ち、制限写像がどれも加群の準同型となっているならば X 上の加群の前層、同じく F(U) がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば X 上の環の前層、といったように F(U) たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる。

各開集合 U に対して F(U) の元を前層 FU 上の切断(せつだん、section)あるいは断面(だんめん)と呼ぶ。開集合の包含関係 UVV 上の切断 sF(V) が与えられたとき、

と記して、s|U を切断 sU への制限 (restriction) と呼ぶ。

圏論の言葉で言えば、X の開集合系(これは包含関係に関する 順序集合となる) Tと見なすとき、X 上の前層とは T から集合の圏への 反変関手のことであるということができる。また、可換群の(あるいは加群の)前層や環の前層は T から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして T から適当な圏 C への反変関手として C に値を持つ前層が定義される [1]。二つの前層を関手と見なして、その間の自然変換となるものを前層の射または前層の 準同型とよぶ。

位相空間 X 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるときと呼ばれる。正確には X 上の層とは、前層 F = {F(U), ρ V
U
 
} であって、X の各開集合 U に対して開被覆

が任意に与えられたとき、F(U) の元 s, t が任意の λ に対して

を満たすならば常に s = t が成立(既約性条件)し、さらに切断の族 (sλUλ)λΛ が常に

を満たすものであるならば常に、F(U) の元 s

をすべての λ に対して満たすものが存在する(閉条件)ようなもののことをいう。

発見的な方法でいうと、層の射は層の間の写像のようなものである。しかし、層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので、層の射は、各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される。

FG を圏 C に値をもつ X 上の 2つの層とする。 φ: GF は、X の各開集合 U に対し、制限と両立するような射 φ(U): G(U) → F(U) からなる。言い換えると、開集合 U のすべての開部分集合 V に対し、次の図式が 可換となる:

SheafMorphism-01a.png

層を特別な種類の関手としても表現できることを思い出そう。このとき、層の射は対応する関手の 自然変換である。射のこの概念により、任意の C に対し X 上の C に値を持つ層の圏が存在する。その対象は C に値を持つ層であり、射は層の射である。層の 同型射はこの圏における同型射である。

層の同型射は各開集合 U 上の同型射であることを証明できる。言い換えると、φ が同型射であることと、各 U に対し φ(U) が同型射であることが同値である。同じことは 単射についても正しいが、 全射については正しくない。 層コホモロジーを参照。

層の射の定義において貼りあわせの公理を用いなかったことに注意しよう。したがって、上の定義は前層に対しても意味をなす。すると C に値を持つ前層の圏は 関手圏O(X) から C への反変関手の圏である。