フェルマー数

フェルマー数(フェルマーすう)とは 22n + 1n は自然数)で表される自然数のことである。n 番目のフェルマー数はしばしば Fn と記される。

その名の由来であるピエール・ド・フェルマーは、この式の n に自然数を代入したとき常に素数を生成すると主張(予測)したが、後にオイラーn = 5 の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された。素数であるフェルマー数はフェルマー素数と呼ばれる。

実際にフェルマー数の値の最初の方をいくつか計算してみると、

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937

が得られる。F4 = 65537 までは、257 未満の既知であるすべての素数で割りきれないことを確かめることで、容易に素数であることを確認できる。しかし F5 以降は(17世紀当時の計算技術から見ると)相当に巨大な数であると同時に小さな素因数を含んでいないことが、フェルマーを幻惑し反証の発見にはオイラーを待つこととなった要因の一つである。

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