Fascio (teoria delle categorie)

In matematica, un fascio è uno degli strumenti fondamentali per lo studio delle proprietà geometriche degli oggetti. Un fascio permette di esprimere le relazioni tra piccole regioni di uno spazio topologico e lo spazio totale. Per costruire un fascio si parte, in genere, da uno spazio topologico X, e si assegna ad ogni sottoinsieme aperto U di X un dato F(U), quale un insieme, un gruppo, o un anello. In genere, se si vogliono studiare proprietà geometriche dello spazio topologico X, il dato F(U) assegnato all'aperto U è costituito da una famiglia di oggetti geometrici definiti su U, come funzioni, campi vettoriali, o forme differenziali.

La definizione formale

Il primo passo per poter definire un fascio è definire il concetto di prefascio, con il quale si formalizza l'idea di associare determinati dati ad ogni aperto. In seguito, si enunciano i due assiomi di fascio: la normalizzazione e l'incollamento.

Definizione di prefascio

Sia X uno spazio topologico, e sia C una categoria. In genere, C può essere la categoria degli insiemi, dei gruppi, dei gruppi abeliani, o quella degli anelli commutativi. Un prefascio F su X a valori in C è allora definito dai dati seguenti:

  • Per ogni sottoinsieme aperto U di X, un oggetto F(U) in C
  • Per ogni scelta di aperti V e U di X, con , un morfismo resV,U: F(U) → F(V) nella categoria C.

I morfismi resV,U sono detti morfismi di restrizione, e devono soddisfare le due proprietà seguenti:

  • Per ogni sottoinsieme aperto U di X, si ha che resU,U = idF(U), dove idF(U) è l'identità di F(U) in C
  • Per ogni scelta di sottoinsiemi aperti in X, si ha allora resW,V o resV,U = resW,U.

Il secondo assioma afferma che il risultato della restrizione prima da U a V ed in seguito da V a W è uguale al risultato della restrizione direttamente da U a W.

Esiste un modo più compatto per esprimere la nozione di prefascio su di uno spazio topologico, utilizzando la teoria delle categorie. Infatti, se X è uno spazio topologico, allora possiamo definire la categoria degli aperti di X, che indicheremo con Op(X) in questo modo:

  • Gli oggetti di Op(X) sono tutti i sottoinsiemi aperti di X
  • Per ogni V, U aperti di X, definiamo l'insieme dei morfismi da V a U come l'insieme costituito dall'inclusione iV,U se V è contenuto in U, come l'insieme vuoto altrimenti.

Allora, un prefascio F su X a valori in una categoria C è semplicemente un funtore controvariante da Op(X) a C. Ovviamente, questa definizione si può generalizzare al caso in cui la categoria di partenza sia una qualsiasi categoria: ogni funtore controvariante tra le categorie è un prefascio; si veda prefascio (teoria delle categorie).

Se F è un prefascio su X a valori in C, ed U è un aperto in X, allora F(U) è detto sezione di F su U. Se C è una categoria concreta, allora ogni elemento di F(U) è chiamato sezione. In particolare, un elemento di F(X) è detto sezione globale. Talvolta, specialmente nel contesto della coomologia di fasci, l'oggetto F(U) è denotato anche come Γ(U,F).

Definizione di fascio

Un fascio F su X a valori in C è un prefascio che verifica i due assiomi di normalizzazione e di incollamento.

  • Assioma di normalizzazione: F(∅) è l' oggetto terminale della categoria C (ovviamente, perché questo assioma abbia senso, C deve possedere oggetto terminale).

L'assioma di incollamento è più importante. Per semplicità, supponiamo che C sia una categoria concreta. Sia I un insieme di indici, per ogni si scelga un aperto , e sia la loro unione.

  • Assioma di incollamento S1: Siano due sezioni tali che per ogni si abbia
Allora .
  • Assioma di incollamento S2: Per ogni , si scelgano elementi tali che per ogni
Allora esiste tale che

Un prefascio che verifica solo l'assioma di incollamento S1 è detto prefascio separato (o anche monoprefascio). I due assiomi possono essere uniti in un unico assioma di incollamento, richiedendo in S2 non solo l'esistenza, ma anche l'unicità della sezione s su U. Sono proprio i due assiomi di incollamento che ci permettono di passare da una collezione locale di dati, cioè dati definiti solo su aperti, ad un dato globale, definito cioè su tutto lo spazio topologico.

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