Teoría de feixes

En matemáticas, un feixe F sobre un espazo topolóxico dado X proporciona, para cada conxunto aberto U de X, un conxunto F(U), de estrutura máis rica. Á súa vez ditas estruturas: F(U), son compatibles coa operación de restrición dende un conxunto aberto cara a subconxuntos máis pequenos e coa operación de pegado de conxuntos abertos para obter un aberto maior. Un prefeixe é similar a un feixe, pero con el pode non ser posible a operación de pegado. Os feixes permiten discutir de maneira refinada sobre o que significa ser unha propiedade local, tal e como se fala cando se aplica a unha función.

Introdución

Os feixes son empregados en topoloxía, xeometría alxébrica e xeometría diferencial sempre que se quere gardar rastro dos datos alxébricos que varían con cada conxunto aberto do obxecto xeométrico dado. Son unha ferramenta global para estudar obxectos que varían localmente (i.e., dependendo do conxunto aberto). Funcionan como instrumentos naturais para o estudo do comportamento global de entidades que son de natureza local, como os conxuntos abertos, ou as funcións: continuas, analíticas, diferenciables...

Por considerarse un exemplo típico, sexa un espazo topolóxico X, e sexa para cada conxunto aberto U en X o conxunto F(U), que consta de todas as funcións continuas UR. Se V é un subconxunto aberto de U, entón as funcións sobre U poden restrinxirse a V, e tense unha aplicación F(U)F(V). O "pegado" trátase do seguinte proceso: suponse que os Ui son conxuntos abertos cuxa unión é U, e para cada i cóllese un elemento fi F(Ui), i.e. unha función continua fi: UiR. Se estas funcións coinciden onde se solapan, entón pódense pegar xuntas de maneira que dean unha única forma de conseguir unha función continua f: UR coincidente con todas as fi. A colección de conxuntos F(U) xunto coas aplicacións restrición F(U)F(V) forman un feixe de conxuntos sobre X. Realmente, os F(U) son aneis conmutativos e as aplicacións de restrición son homomorfismos de aneis, e F é ademais un feixe de aneis sobre X.

Un exemplo moi parecido obtense considerando unha variedade diferenciable X, e para cada conxunto aberto U de X, tomando o conxunto F(U) como o das funcións diferenciables UR. Neste exemplo vai funcionar tamén o pegado e terase un feixe de aneis sobre X. Outro feixe sobre X asigna a cada conxunto aberto U de X o espazo vectorial de todas os campos vectoriales diferenciables definidos sobre U. A restrición e o pegado funcionará como no caso das funcións, e obteremos un feixe de espazos vectoriales sobre a variedade X.

Other Languages