Garbe (Mathematik)

Eine Garbe ist ein Begriff aus verschiedenen Gebieten der Mathematik wie zum Beispiel der algebraischen Geometrie und Funktionentheorie. Eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum besteht aus je einer abelschen Gruppe zu jeder offenen Teilmenge des Basisraumes und kompatiblen Einschränkungshomomorphismen zwischen diesen abelschen Gruppen. Entsprechend besteht eine Garbe von Ringen aus einem Ring für jede offene Teilmenge und Ringhomomorphismen. Das einfachste Beispiel einer Garbe ist die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen eines topologischen Raumes zusammen mit der Einschränkung der Funktionen auf kleinere offene Teilmengen. Prägarben lassen sich auf einer beliebigen Kategorie definieren. Garben lassen sich auf einem beliebigen Situs (das ist eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist) definieren.

Definitionen

Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen im Hinterkopf zu halten: ist dann die Menge der stetigen Funktionen , die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem Funktor ) sind einfach die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

Prägarbe auf einem topologischen Raum

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ordnet jeder offenen Teilmenge eine Menge (bzw. abelschen Gruppe, Modul, Ring) zusammen mit Einschränkungsabbildungen für alle Inklusionen offener Teilmengen zu; dabei müssen die Einschränkungsabbildungen in der „offensichtlichen“ Weise zusammenpassen:

  • für offene Teilmengen .

Die Elemente von heißen (lokale) Schnitte von über , die Elemente von globale Schnitte. Statt schreibt man auch

Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine offene Teilmenge schreibt man auch .

Garbe auf einem topologischen Raum

Eine Garbe ist eine Prägarbe, bei der die Daten „lokal“ sind, d. h. die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • Lokale Übereinstimmung impliziert globale Übereinstimmung: Sind und Schnitte von über und eine offene Überdeckung von , und gilt
für alle , so gilt .
  • Zusammenpassende lokale Daten lassen sich „verkleben“: Sind Schnitte gegeben, so dass die Einschränkungen von und auf übereinstimmen, so gibt es einen Schnitt , so dass
für alle gilt.

Aus der ersten Bedingung folgt, dass in der zweiten Bedingung durch die eindeutig bestimmt ist.

Kategorientheoretische Definition einer Garbe auf einem topologischen Raum

Es sei ein topologischer Raum. Die Kategorie habe als Objekte die offenen Teilmengen von mit einem Morphismus für jede Inklusion offener Mengen. Eine Prägarbe auf mit Werten in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Eine Prägarbe heißt Garbe, falls das folgende Diagramm für jede offene Teilmenge und jede Überdeckung von exakt ist:

d. h., dass der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

(Der Begriff der Garbe ist nur definiert, wenn Produkte besitzt.)

In anderen Sprachen