Površina

Three shapes on a square grid
Ukupna površina ova tri oblika je približno 15,57 kvadrata.

Površina je količina koja opisuje u kojoj je mjeri dvodimenzionalna figura ili oblik, ili planarne lamine, u ravni. Površina je njen analogni pojam na dvodimenzionalnoj površi trodimenzionalnog oblika. Površina može biti shvaćena kao količina materijala sa datom debljinom koja bi bila potrebna da obuče model oblika, ili količina boje potrebne da prekrije površ pri jednom nanosom.[1] To je dvodimenzionalni analog dužine krivulje (jednodimenzionalni koncept) ili zapremine čvrstog tijela (trodimenzionalni koncept).

Površina oblika može biti izmjerena poredeći oblik sa kvadratima fiksne veličine.[2] U SI sistemu, standardna jedinica površine je kvadratni metar (piše se kao m2), što je površina kvadrata čije su stranice duge po jedan metar.[3] Oblik sa površinom od tri kvadratna metra bi imao istu površinu kao i tri takva kvadrata. U matematici, jedinica kvadrata je definisana da ima površinu od jedan, i površinu od bilo kojeg oblika ili površi je bezdimenzioni realni broj.

Postoji nekoliko dobro poznatih formula za površine manjih oblika kao što su trouglovi, pravougaonici i krugovi. Koristeći ove formule, površina svakog poligona može se naći dijeljenjem poligona u trouglove.[4] Za oblike sa zakrivljenim granicama, kalkulus se često koristi da se izračuna površina. Doista, problem određivanja površine ravnih figura bio je veća motivacija za historijski razvoj kalkulusa (matematička analiza).[5]

Za čvrsti oblik kao što je sfera, konus ili cilindar, površina njihovih površi naziva se površina površi.[1][6] formule za površine jednostavnih oblika bile su računate u doba drevnih Grka, ali računanje površine komplikovanijih oblika obično zahtijeva multivarijabilni kalkulus.

Površina igra važnu ulogu u modernoj matematici. U dodatku sa očiglednom važnošću u geometriji i kalkulusu, površina je vezana za definiciju determinanti u linearnoj algebri, te je osnovna osobina površi u diferencijalnoj geometriji.[7]analizi, površina podskupa ravni je definisana korištenjem mjere Lebega,[8] ipak nije svaki podskup mjerljiv.[9] Generalno, površina u višoj matematici vidi se kao specijalan slučaj zapremine za dvodimenzionalne regije.[1]

Površina može biti definisana kroz upotrebu aksioma, definirajući je kao funkciju kolekcije određenih ravnih figura u skup realnih brojeva. Može biti dokazano da takva funkcija postoji.

Formalna definicija

Pristup definisanju šta se misli pod pojmom "površina" jesu aksiomi. "Površina" može biti definisana kao funkcija iz kolekcije M specijalne vrste ravnih figura (nazvani mjerljivi skupovi) ka skupu realnih brojeva koji zadovoljavaju slijedeće osobine:

  • Za sve S u M, a(S) ≥ 0.
  • Ako su S i T u M tada su i STST, i također a(ST) = a(S) + a(T) − a(ST).
  • Ako su S i T u M sa ST tada je TS u Ma(TS) = a(T) − a(S).
  • Ako je skup S u M i S je kongruentno sa T tada T je također u M i a(S) = a(T).
  • Svaki pravougaonik R je u M. Ako pravougaonik ima dužinu h i širinu k tada je a(R) = hk.
  • Neka Q bude skup zatvoren između dvije step regije S i T. Step regija je formirana od ograničene unije susjednih pravougaonika koji se nalaze na istoj bazi, npr. SQT. Ako postoji unikatan broj c takav da je a(S) ≤ c ≤ a(T) za sve takve step regije S i T, tada je a(Q) = c.

Može biti dokazano da takva površinska funkcija doista postoji.[10]

Other Languages
Afrikaans: Oppervlakte
Alemannisch: Flächeninhalt
aragonés: Aria
العربية: مساحة
ܐܪܡܝܐ: ܫܛܝܚܘܬܐ
অসমীয়া: ক্ষেত্ৰফল
авар: Площадь
تۆرکجه: مساحت
башҡортса: Майҙан
Boarisch: Flächn
žemaitėška: Pluots
беларуская: Плошча
беларуская (тарашкевіца)‎: Плошча
български: Площ
भोजपुरी: क्षेत्रफल
brezhoneg: Gorread
català: Àrea
Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄: Miêng-cék
нохчийн: Майда
Cebuano: Langyab
کوردی: ڕووبەر
čeština: Obsah
словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ: Пространиѥ
Чӑвашла: Лаптăк
Cymraeg: Arwynebedd
dansk: Areal
dolnoserbski: Wopśimjeśe płoni
ދިވެހިބަސް: އަކަމިން
Ελληνικά: Εμβαδόν
English: Area
Esperanto: Areo
español: Área
eesti: Pindala
euskara: Azalera
فارسی: مساحت
suomi: Pinta-ala
Võro: Pindala
føroyskt: Vídd
Nordfriisk: Areal (miat)
Frysk: Oerflak
贛語: 面積
Gàidhlig: Farsaingeachd
galego: Área
ગુજરાતી: ક્ષેત્રફળ
Gaelg: Eaghtyr
客家語/Hak-kâ-ngî: Mien-chit
Hawaiʻi: ʻAlea
עברית: שטח
हिन्दी: क्षेत्रफल
hrvatski: Površina
hornjoserbsce: Wobsah přestrjenje
հայերեն: Մակերես
interlingua: Area
Bahasa Indonesia: Luas
Ilokano: Kalawa
Ido: Areo
íslenska: Flatarmál
italiano: Area
日本語: 面積
Patois: Ieria
Basa Jawa: Jembar
ქართული: ფართობი
Адыгэбзэ: ЩIыпIэ инагъ
ភាសាខ្មែរ: ក្រលាផ្ទៃ
한국어: 넓이
kurdî: Rûerd
Кыргызча: Аянт
Lëtzebuergesch: Fläch
Limburgs: Oppervlak
lingála: Etando
lietuvių: Plotas
latviešu: Laukums
मैथिली: क्षेत्रफल
Malagasy: Velarantany
олык марий: Кумдык
македонски: Плоштина
монгол: Талбай
Bahasa Melayu: Keluasan
Mirandés: Ária
မြန်မာဘာသာ: ဧရိယာ
مازِرونی: گتی
Plattdüütsch: Flach
Nedersaksies: Oppervlakte
नेपाली: क्षेत्रफल
Nederlands: Oppervlakte
norsk nynorsk: Flatevidd
norsk: Areal
occitan: Aira
Ирон: Фæзуат
ਪੰਜਾਬੀ: ਖੇਤਰਫਲ
Pälzisch: Fläche
português: Área
română: Arie
русский: Площадь
संस्कृतम्: क्षेत्रफलम्
Scots: Aurie
سنڌي: ايراضي
srpskohrvatski / српскохрватски: Površina (geometrija)
Simple English: Area
slovenčina: Plocha (útvar)
slovenščina: Površina
chiShona: Nharaunda
Soomaaliga: Bed
српски / srpski: Површина
Basa Sunda: Aréa
svenska: Area
Kiswahili: Eneo
தமிழ்: பரப்பளவு
తెలుగు: విస్తీర్ణం
тоҷикӣ: Масоҳат
Tagalog: Sukat
Türkçe: Alan
татарча/tatarça: Mäydan
українська: Площа
اردو: رقبہ
oʻzbekcha/ўзбекча: Yuza
Tiếng Việt: Diện tích
West-Vlams: Ippervlak
Winaray: Kahaluag
Wolof: Yaatuwaay
吴语: 面积
მარგალური: ფართობი
ייִדיש: שטח
Yorùbá: Ààlà
Zeêuws: Oppervlak
中文: 面积
Bân-lâm-gú: Biān-chek
粵語: 面積