Triangle

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Triangle dont l'intérieur est bleu clair et les côtés d'un bleu plus foncé.
Un triangle.

En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets, par les trois segments qui les relient, appelés côtés, délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».

Le triangle est aussi le polygone le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de surfaces.

De nombreuses constructions géométriques de points, droites et cercles associés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans les Éléments d'Euclide, près de 300 ans avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul de distances par triangulation. Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques appelée trigonométrie.

Représentation d'un triangle sphérique trirectangle.
Un triangle sphérique trirectangle.

Hors de la géométrie euclidienne, les côtés d'un triangle sont remplacés par des arcs géodésiques et beaucoup de ses propriétés sont modifiées (voir Trigonométrie sphérique).

La forme triangulaire se retrouve dans de nombreux objets, mathématiques ou non, et s'est chargée de symboliques diverses. De nombreux caractères typographiques présentent une telle forme.

Articles détaillés : Symbolique du triangle et Triangle (caractère).

Description

Notations

Triangle ABC avec les notations AB = c, AC = b et BC = a, les angles en A, B et C étant respectivement notés α, β et γ.
Notations usuelles pour un triangle ABC.

Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (a priori capitales) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond en général à un parcours dans le sens trigonométrique autour du triangle [1]. La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.

Notations classiques pour un angle
dans un triangle ABC.

Si tous les sommets sont distincts [note 1], chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide de lettres grecques en minuscule et en italique.

Premières propriétés

Inégalité triangulaire

Article détaillé : Inégalité triangulaire.

Le postulat euclidien selon lequel « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés :

Le cas d'égalité caractérise les triangles plats, dans lequel l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.

Réciproquement, étant données trois longueurs (données par trois nombres réels positifs) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté. La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.

Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.

Somme des angles

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
Article détaillé : Somme des angles d'un triangle.

La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° ( degrés) c'est-à-dire π radians. Cette propriété est une caractéristique de la géométrie euclidienne. Il existe d'autre géométries, dites géométries non euclidiennes, dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors de géométrie elliptique) ou au contraire inférieure (la géométrie est alors dite géométrie hyperbolique).

Réciproquement, étant données trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer une demi-droite en chaque extrémité mais du même côté du segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.

Cas particuliers

Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est dit dégénéré (ou parfois en aiguille [réf. nécessaire]).

Un triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés.

Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre un axe de symétrie en dehors des triangles plats. Anciennement, en géométrie euclidienne, un triangle isocèle possédait exactement deux côtés égaux. [réf. nécessaire]

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est dit scalène (du grec σκαληνός (skalenos) : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique…). Un triangle scalène peut aussi être rectangle.

L'adjectif "scalène" n'est pas synonyme de l'adjectif "quelconque". Un triangle quelconque est un triangle qui peut posséder ou non des propriétés des triangles particuliers. Ainsi un triangle quelconque peut être isocèle ou équilatéral, ou même scalène. Par contre un triangle scalène ne peut être ni équilatéral ni isocèle. L'adjectif "quelconque" est employé pour insister sur le fait qu'on ne sait rien de plus à propos d'un triangle. Dès lors qu'on sait qu'un triangle possède une ou des propriété(s) particulière(s) il ne peut plus être considéré comme quelconque.

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit, c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors le théorème de Pythagore. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'un angle obtus (supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle est obtusangle ou ambligone. S'il n'y en a pas, il est acutangle ou oxygone (il a alors trois angles aigus).

Certains triangles ont reçu une dénomination particulière qui détermine leurs angles :

  • le demi-carré est un triangle isocèle rectangle, qui peut s'obtenir en reliant trois sommets d'un carré ;
  • le triangle des arpenteurs ou triangle « 3-4-5 » est un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs 3, 4 et 5 en fonction d'une unité fixée ;
  • le triangle de l'écolier ou triangle hémi-équilatéral est un triangle rectangle dont les mesures des angles sont de 30°, 60° et 90° ;
  • le triangle d'or est un triangle isocèle dont les angles à la base valent deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72° ;
  • un triangle de Kepler est un triangle rectangle dont les longueurs de côté suivent une progression géométrique.

Un triangle est dit bisocèle si l'une de ses bissectrices le partage en deux triangles isocèles. Il ne peut s'agir que du demi-carré ou d'un triangle d'or [2].

Aire

L' aire d'un triangle est donnée par diverses formules, la première étant fonction de la longueur d'un côté, appelée base, et de la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté, appelée hauteur.

Cette formule est dérivée de celle de l'aire d'un parallélogramme et démontrée dans les Éléments d' Euclide.

Article détaillé : Aire d'un triangle.

D'autres formules font appel à la longueur des côtés ( formule de Héron) ou aux coordonnées des sommets dans un repère orthonormé.

Périmètre

Le périmètre d'un triangle est simplement la somme des trois longueurs de côté. Pour un périmètre p donné, l'aire intérieure du triangle est majorée par celle du triangle équilatéral correspondant :

Relations trigonométriques

Les longueurs de côté d'un triangle et les mesures de ses angles satisfont plusieurs relations qui permettent de toutes les calculer à partir de certaines d'entre elles.

Article détaillé : Résolution d'un triangle.

Il s'agit d'une part, outre la formule de la somme des angles, d'une relation entre l'aire, la mesure d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents :

laquelle permet d'obtenir la formule des sinus :

R est le rayon du cercle circonscrit ;

d'autre part, du théorème d'Al-Kashi (ou théorème de Carnot [réf. nécessaire] ou encore loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore :

.
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