Tomographie

Principe de base de la tomographie par projections : les coupes tomographiques transversales S1 et S2 sont superposées et comparées à l’image projetée P.

La tomographie est une technique d’ imagerie, très utilisée dans l’ imagerie médicale, ainsi qu’en géophysique, en astrophysique et en mécanique des matériaux. Cette technique permet de reconstruire le volume d’un objet à partir d’une série de mesures effectuées par tranche depuis l’extérieur de cet objet.

Principe

La tomographie (racine grecque tomê, coupe, et ainsi représentation en coupes) est une technique qui consiste à reconstruire le volume d’un objet (le corps humain dans le cas de l’imagerie médicale, une structure géologique dans le cas de la géophysique) à partir d’une série de mesures déportées à l’extérieur de l’objet. Ces mesures peuvent être effectuées à la surface même ou à une certaine distance. Le résultat est une reconstruction de certaines propriétés de l’intérieur de l’objet, selon le type d’information que fournissent les capteurs (capture d’une particule, pression acoustique, atténuation d’un faisceau lumineux, différence de vitesse ou de polarisation d’ ondes sismique…).
L’ IRM, par exemple, peut fournir des données anatomiques qui, bien que similaires à ce que l’on obtiendrait en découpant l’objet en fines lamelles et en photographiant ces lamelles, sont en fait une cartographie due à la relaxation (retour à l’état d’équilibre) différentielle des spins de l’ atome d’ hydrogène dans l’eau - constituant principal des tissus organiques.

La tomographie, d’un point de vue mathématique, se décompose en deux étapes. Tout d’abord elle nécessite l'élaboration d'un modèle direct, décrivant suffisamment fidèlement les phénomènes physiques tels qu'ils sont mesurés. Ensuite, on détermine le modèle inverse ou reconstruction servant à retrouver la distribution tridimensionnelle en se fondant sur le modèle direct. Un exemple simple serait un dérivé du carré magique, où l’on dispose dans un carré trois lignes de trois chiffres, avec la seule condition que les chiffres de 1 à 9 n’apparaissent qu’une fois. Le modèle direct consisterait à calculer la somme de chaque ligne et de chaque colonne d’un carré déjà rempli. Le modèle inverse consiste, connaissant les sommes, à remplir le carré.

Les algorithmes de reconstruction peuvent être très variés mais on les classe souvent en deux catégories :

  • les algorithmes analytiques, basés sur une représentation continue du problème par formule mathématique (par exemple la transformée de Radon) ; souvent simples et rapides, ils ne prennent généralement pas en compte la nature statistique de la mesure (bruit) ;
  • les algorithmes algébriques, basés sur une représentation discrète (matricielle) du problème ; souvent plus élaborés, ils permettent l'utilisation d'un modèle direct obtenu par simulation numérique et utilisent une modélisation statistique de la mesure (modèle direct) pour inverser le problème grâce à des méthodes probabilistes (à partir de critères tels que le maximum de vraisemblance ou le maximum a posteriori et selon des méthodes itératives telles que l' algorithme espérance-maximisation).

La tomographie est appliquée dans les domaines de la médecine, des géosciences, de la thermique…

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