Théorie des nombres

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs), et contient beaucoup de problèmes ouverts faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Jürgen Neukirch :

« La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences. » [1]

Le terme «  arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé ; pour éviter des confusions, on désignait aussi parfois, jusqu'au début du vingtième siècle, la théorie des nombres par le terme « arithmétique supérieure ». Néanmoins, l'adjectif arithmétique reste assez répandu, en particulier pour désigner des champs mathématiques ( géométrie algébrique arithmétique, arithmétique des courbes et surfaces elliptiques, etc.). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé en logique pour l'étude des systèmes formels axiomatisant les entiers, comme il en est dans l' arithmétique de Peano.

La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

Les diverses branches de la théorie des nombres

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l' algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur ( PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le théorème de Wilson, le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci.

Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :

La théorie des équations diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable.

Article détaillé : problèmes de Hilbert.

La théorie analytique des nombres

La théorie analytique des nombres fait usage du calcul infinitésimal et de l' analyse complexe pour traiter de questions relatives aux entiers. Le théorème des nombres premiers, et l' hypothèse de Riemann qui lui est liée, en sont des exemples. Le problème de Waring (un nombre donné est-il la somme de carrés, de cubes, etc ?), la conjecture des nombres premiers jumeaux (il y a une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (tous les entiers pairs plus grands que 2 sont sommes de deux nombres premiers) sont attaqués par des méthodes analytiques avec un certain succès. Les preuves de transcendance de certaines constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées dans la théorie analytique des nombres. Tandis que les énoncés concernant les nombres transcendants semblent être éloignés de l'étude des entiers, ils caractérisent en réalité les valeurs possibles de polynômes, à coefficients entiers, évalués en un tel nombre; ils sont aussi étroitement liés au domaine de l' approximation diophantienne, qui examine de quelle façon un nombre réel donné peut être approché "au mieux" par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres

Dans la théorie algébrique des nombres, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé – théorie de Galois, cohomologie des groupes, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L – sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres.

Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p.

Article détaillé : corps fini.

Ceci mène à la construction des nombres p-adiques ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Traditionnellement appelée géométrie des nombres, la théorie géométrique des nombres incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilements de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie combinatoire des nombres

La combinatoire arithmétique  (en) s'occupe des problèmes de théorie des nombres qui impliquent les idées combinatoires dans leurs formulations ou leurs solutions. Paul Erdős est le principal fondateur de cette branche de la théorie des nombres. Les sujets caractéristiques incluent les systèmes couvrants, les problèmes à somme zéro, diverses sommes d'ensembles restreintes et des progressions arithmétiques dans l'ensemble des entiers. Les méthodes algébriques ou analytiques sont puissantes dans ce champ d'étude.

La théorie algorithmique des nombres

Article détaillé : Théorie algorithmique des nombres.

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Les algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers, et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres, ont d'importantes applications en cryptographie et sont, de fait, un sujet très sensible.

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