Théorie des anneaux

En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du 19è siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au 20è siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.

Si la théorie des anneaux considère les anneaux en général, les anneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'algèbre commutative. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 des géométries non commutatives et des groupes quantiques.

Histoire

La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que les quaternions ou les corps de nombres). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition en nombre premiers dans certains corps de nombres[1].

L'étude des polynômes, motivée par la géométrie algébrique naissante, pousse Richard Dedekind à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entres ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Dedekind emploie le terme Ordnung (« ordre ») qui a aujourd'hui un sens différent. Le mot, Zahlring, qui désigne surtout de manière informelle une collection de nombres, est utilisé par David Hilbert qui l'utilise pour désigner ces structures dans un populaire ouvrage sur la théorie des nombres[2].

Suivant la démarche axoimatique en vogue au début du 20è siècle, une première définition abstraite d'un anneau est donnée en 1914 par Abraham Fraenkel[3][4], qui sera complétée en 1917 par Masazo Sono pour donner la définition actuelle d'anneau et d'anneau commutatif. Mais c'est indéniablement la mathématicienne Emmy Noether qui a le plus fait avancer la théorie naissante des anneaux abstraits, introduisant dans un article de 1921 la plupart des résultats fondamentaux du domaine et distinguant de nombreuses classes importantes d'anneaux, tels que les anneaux noethériens et les anneaux de Dedekind.

Désormais sans lien nécessaire avec les nombres, la théorie des anneaux prend son essor comme théorie indépendante. Lasker et Macauley montrent alors une correspondance entre les variétés algébriques, définies par un système d'équations polynomiales, et les anneaux construits à partir des idéaux maximaux tirés de ces équations. Ils montrent qu'il est ainsi possible de résoudre de nombreux problèmes de nature a priori géométrique en étudiant des idéaux d'anneaux, un problème a priori algébrique. Cela a inspiré l'idée moderne que toute la géométrie peut être comprise comme une discussion sur différents types d'idéaux.

Parmi les principaux auteurs ayant contribué au développement de la théorie, on compte en plus de ceux déjà cités William Hamilton, Joseph Wedderburn, Henri Cartan, Emil Artin, Nathan Jacobson, Charles Hopkins, Jacob Levitzki, Alfred Goldie, Shimshon Amitsur, Ken Goodearl, Richard Brauer, Paul Cohn, Israel N. Herstein, Kiiti Morita, et Øystein Ore.

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