Théorie de Galois

En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la théorie de Galois différentielle, ou la théorie de Galois des revêtements.

Cette théorie est née de l'étude par Évariste Galois des équations algébriques. L'analyse de permutations des racines permet d'expliciter une condition nécessaire et suffisante de résolubilité par radicaux. Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Abel-Ruffini.

Les applications sont très variées. Elles s'étendent de la résolution de vieilles conjectures comme la détermination des polygones constructibles à la règle et au compas démontrée par le théorème de Gauss-Wantzel à la géométrie algébrique à travers, par exemple, le théorème des zéros de Hilbert.

Évariste Galois (1811-1832).

Histoire

Genèse

La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al-Khwârizmî [1] ( 783 850), Tartaglia ( 1499 1557), Cardano [2] ( 1501 1576) ou Ferrari ( 1522 1565) de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront nécessaires pour apporter de nouvelles idées.

Carl Friedrich Gauss.

Gauss et les polynômes cyclotomiques

Paragraphe détaillé : Histoire des polynômes cyclotomiques.

Gauss ( 1777 1855) utilise les polynômes cyclotomiques [3] pour apporter une contribution à un problème ouvert depuis l'antiquité : celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Il construit en particulier l' heptadécagone, polygone régulier à dix-sept côtés. Son approche, typiquement galoisienne bien avant la découverte de la théorie, lui vaut le surnom de prince des mathématiciens.

Son travail est complété par Wantzel [4] ( 1814 1848), qui donne une condition nécessaire et suffisante de constructibilité des polygones réguliers et démontre l'impossibilité de la trisection de l'angle et de la duplication du cube.

Niels Abel (1802-1829).

Théorème d'Abel-Ruffini

Paragraphe détaillé : Histoire du théorème d'Abel-Ruffini.

Dans le cas général, l' équation quintique n'admet pas de solution par radicaux. C'est la raison pour laquelle une démarche à l'aide de substitutions et changements de variables devient stérile. Lagrange [5] ( 1736 1813) et Vandermonde [6] ( 1735 1796) utilisent la notion de permutation à la fin du XVIIIe siècle et pressentent l'importance de cet outil dans le cadre de l' équation polynomiale.

Ruffini [7] ( 1765 1822) est le premier à prévoir l'impossibilité de la solution générale et que la compréhension du phénomène réside dans l'étude des permutations des racines. Sa démonstration reste néanmoins peu rigoureuse et partielle. Le mathématicien norvégien Abel ( 1802 1829) publie une démonstration [8] en 1824 qui finit par convaincre la communauté scientifique. Elle ne propose pas à l'époque de condition nécessaire et suffisante de résolubilité.

Évariste Galois

Paragraphe détaillé : Histoire des groupes de Galois.

En étudiant le problème de l'équation algébrique, Galois ( 1811 1832) met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoire [9] est finalement retrouvé par Liouville ( 1809 1882) qui le présente à l' Académie des sciences en 1843. Les travaux de Galois accèdent alors in extremis à la célébrité.

Galois met en évidence la correspondance univoque des sous-corps d'une extension finie, avec les sous-groupes d'un certain groupe de permutations qu'il associe à cette extension, appelé aujourd'hui groupe de Galois. L'étude des propriétés des extensions finies se ramène alors à l'étude de leur groupe de Galois. Armé de cet instrument profondément novateur et puissant, Galois est en mesure de donner une condition nécessaire et suffisante pour la résolution d'une équation algébrique au moyen de radicaux. Il emploie ensuite sa théorie pour établir des théorèmes particuliers sur certaines équations algébriques : par exemple, il démontre (fait énoncé sans preuve par Abel) que pour qu'une équation de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes ses racines soient fonctions rationnelles de deux d'entre elles. De même, il démontre que l'équation générale de degré supérieur à 4 ne peut être résolue par radicaux. Pour ces démonstrations, Galois utilise intensivement la structure de groupe, introduite par Lagrange, Cauchy, Ruffini et Abel dans la théorie des équations (comme pour ses prédécesseurs, les groupes envisagés par Galois ne sont pas des groupes abstraits, définis par un ensemble et une loi, mais des groupes de permutations). De plus, pour obtenir des indices qui varient d'une certaine manière, Galois est conduit à inventer la théorie des corps finis, et à en développer à peu près toutes les propriétés élémentaires classiques. De la sorte, il peut faire varier les indices des variables dans des corps finis, et étudier des équations particulières qu'il nomme « primitives ».

La démarche fonctorielle de Galois, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne [réf. insuffisante]. Liouville en parle dans les termes suivants : « Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d'inventeur [10]. »

Structures algébriques

Article détaillé : Théorie de Galois à l'origine.

La notion de groupe est issue de la théorie des substitutions pour la résolution des équations algébriques, à laquelle ont contribué Joseph-Louis Lagrange, Alexandre-Théophile Vandermonde, Carl Friedrich Gauss, Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel et Augustin Louis Cauchy. Ce dernier considère un « ensemble » de permutations d'un « ensemble » fini (les notions ensemblistes ne sont pas encore connues, c'est pourquoi les guillemets s'imposent), muni de la composition des applications, et dégage les propriétés de cette loi interne (élément neutre, transitivité, éléments permutables, etc.). Il publie vingt-cinq articles sur les « groupes » (dans la terminologie actuelle) dont un sur son célèbre théorème [11]. Mais l'apport majeur est dû à Galois, lequel est le premier à dégager la notion de sous-groupe distingué [12] et à qui revient la première idée de la notion de représentation linéaire d'un groupe [13]. C'est également sous sa plume qu'apparaît le terme groupe d'une équation algébrique [14]. Après la publication de ses travaux par Joseph Liouville en 1846, ceux-ci ont commencé à être compris par la communauté mathématique. Cayley parvient en 1854 à la notion d'un groupe abstrait [15], dont la première définition claire est donnée par Walther Dyck en 1882 [16]. En 1869, dans un article paru dans les Mathematische Annalen [17], puis, avec de légères modifications, dans son livre [18] publié en 1870, Jordan diffuse largement les idées de Galois et donne une caractérisation plus maniable que celle de Galois de la notion de groupe résoluble [19]. En 1893, Weber fait un exposé synthétique de la théorie des groupes [20].

D'autres structures sont mises en évidence, particulièrement en Allemagne. Indépendamment des travaux de Galois, Kummer étudie [21] des anneaux et découvre l'ancêtre de la notion d' idéal. Kronecker et Dedekind développent les prémisses de la théorie des anneaux et des corps [22]. Kronecker établit le pont entre les écoles française et allemande. Il donne la définition moderne de groupe de Galois à partir d' automorphismes de corps.

Théories de Galois

Icosaèdre.

Un nouvel axe d'analyse enrichit la théorie de Galois. En 1872, Klein ( 1849 1925) se fixe comme objectif de classifier les différentes géométries de l'époque. Il dégage, dans son célèbre programme d'Erlangen, le principe général qu'une géométrie est définie par un espace et un groupe opérant sur cet espace, appelé groupe des isométries. Un pont est ainsi établi entre la théorie des groupes et la géométrie. Ces premiers groupes correspondent à des groupes de Lie et n'appartiennent pas directement à ceux de la théorie de Galois.

En 1884, Klein remarque [23] que le groupe des isométries laissant invariant l' icosaèdre est isomorphe au groupe de Galois d'une équation quintique. La théorie de Galois s'étend à la géométrie algébrique. Les groupes de Galois prennent alors la forme de revêtements aussi appelés revêtement de Galois. Hilbert ( 1862 1943) étudie les corps de nombres quadratiques et apporte une contribution majeure à la théorie en démontrant [24] son célèbre théorème des zéros. Ce théorème possède aussi une interprétation géométrique sur les variétés algébriques. La théorie est maintenant enrichie d'une nouvelle branche : la théorie de Galois géométrique, qui s'avère particulièrement féconde.

Les travaux de Hilbert ouvrent d'autres branches de la théorie de Galois. Le théorème des zéros permet l'étude des premiers groupes de Galois infinis. Son théorème d'irréductibilité ouvre la problématique inverse. Elle s'énonce de la manière suivante : si G est un groupe alors est-il le groupe de Galois d'une extension ?

Enfin les travaux de Picard ( 1856 1941) et Vessiot ( 1865 1952) ouvrent une autre voie pour l'étude des groupes de Galois infinis, la théorie de Galois différentielle.

Apports du XXe siècle

Les travaux de Hilbert ont ouvert l'étude des cas où le groupe de Galois est infini et commutatif. Ce vaste sujet prend le nom de théorie des corps de classes. Elle est maintenant achevée et est souvent considérée comme un des plus beaux succès des mathématiques du XXe siècle.

La formalisation définitive de la théorie de Galois est donnée par Artin [25]. Son approche utilise l' algèbre linéaire, ce qui permet une exposition plus claire et concise ; d'autre part, alors que la théorie classique « montait » d'un corps à ses extensions, une des idées principales d'Artin est de « descendre » d'un corps à ses sous-corps. Les grandes structures de l'algèbre : groupes, anneaux, corps et espaces vectoriels sont utilisées. La théorie de Galois a été étendue au tournant des années 1950 par Henri Cartan [26], Nathan Jacobson [27] et Jean Dieudonné [28] au cas des corps non commutatifs [29]. L'utilisation de bialgèbres et de l' algèbre de Hopf a permis de prolonger ces travaux dans les années 1960 [30]. La théorie de Galois inverse est le sujet de recherches actives ; le théorème de Feit et Thompson est un de ses résultats les plus classiques.

La théorie de Galois a maintenant des ramifications importantes en géométrie algébrique. Elle est la base d'une quantité majeure des grandes réalisations mathématiques du XXe siècle. L'alliance de la géométrie et de l'algèbre est presque systématiquement utilisée. On peut citer par exemple les travaux des mathématiciens Jean-Pierre Serre ( Médaille Fields 1954) et Grothendieck (Médaille Fields 1966) avec une refonte de la géométrie algébrique, Faltings (Médaille Fields 1986) pour ses travaux sur les modules de Galois démontrant la conjecture de Mordell ou Laurent Lafforgue (Médaille Fields 2002) sur le programme de Langlands, une généralisation de la théorie des corps de classes.

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