Théorème de Pythagore

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Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.
Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’ hypoténuse, qui est le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il doit son nom à Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique du VIe siècle av. J.-C.. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et la plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est due à Euclide, vers -300. Même si les mathématiciens grecs en connaissaient sûrement une auparavant, rien ne permet de l'attribuer de façon certaine à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.

Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’ aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.

Plus généralement, ce théorème a de nombreuses applications dans divers domaines très différents (architecture, ingénierie...), encore aujourd'hui, et a permis nombres d'avancées technologiques à travers l'Histoire.

Vocabulaire et énoncés

Un triangle rectangle est un triangle admettant un angle droit (c’est-à-dire de mesure 90°, ou encore radian).

Les deux côtés adjacents à cet angle sont appelés cathètes et le côté opposé est l’ hypoténuse.

Théorème

Triangle rectangle muni de carrés formés sur chacun de ses côtés.
Une version géométrique du théorème : l’aire du grand carré bleu ciel est la somme des aires des deux autres carrés.

La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :

Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

En particulier, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.

Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’ aires entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.

En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante :

Théorème de Pythagore — Si un triangle est rectangle en , alors .

Avec les notations usuelles , et ( cf. figure ci-dessous), la formule s’écrit encore : .

Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB=c, AC=b et BC=a.

Par contraposée :

Théorème — Si n’est pas égal à alors le triangle n’est pas rectangle en .

Réciproque

L’ implication réciproque est également vraie :

Réciproque du théorème de Pythagore — Si alors le triangle est rectangle en .

Pour une formulation sans notations des sommets, le terme « hypoténuse » n'est utilisable qu'une fois acquis que le triangle est rectangle :

Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté.

Par contraposée de la réciproque :

Théorème — Si un triangle n’est pas rectangle en , alors n’est pas égal à .

La réciproque se déduit du théorème lui-même et d'un cas d'« égalité » des triangles : si on construit un triangle rectangle en C de sommets A, C et B', avec CB' = CB, on a AB = AB' par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle initial (les 3 côtés sont 2 à 2 de même longueur). L'angle en C du triangle initial ABC, identique à celui du triangle AB'C, est donc droit.

Équivalence

Comme la réciproque est vraie, on dit que l'on a une équivalence : la propriété sur les carrés des longueurs des côtés du triangle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit dit rectangle. Autrement dit : si cette propriété n'est pas vérifiée, le triangle ne peut être rectangle (condition nécessaire). En revanche, si elle est vérifiée, alors le triangle est forcément rectangle (condition suffisante). On exprime cette équivalence par l'expression « si et seulement si » :

Théorème — Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur de son hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés .

En notation mathématique, cette équivalence est représentée par une double flèche :

Théorème —  est rectangle en .

Triplets pythagoriciens

Article détaillé : Triplet pythagoricien.

Quand trois nombres entiers vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 32 + 42 = 52. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont multiples de (3, 4, 5) est rectangle.

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