Théorème de Leibniz

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Le théorème de Leibniz en géométrie euclidienne s'énonce comme suit :

Soient dans le plan euclidien deux points A et B. On considère le lieu des points M tels que a AM2 + b BM2 = cste. Soit G le barycentre de (A, a) et (B, b). Alors le lieu, s'il est non vide, est un cercle de centre G.

Démonstration

On développe (AG + GM)² et de même pour BM = BG +GM .

L'égalité se réduit à (a+b)(GM)²= cste qui doit être positive.

Remarque : si a + b = 0, G est en quelque sorte rejeté à l'infini (un physicien considèrera que a + b = epsilon) : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.

Le théorème se généralise aisément à plusieurs points A, B, C.

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