Test de Kolmogorov-Smirnov

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En statistiques, le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d'hypothèse utilisé pour déterminer si un échantillon suit bien une loi donnée connue par sa fonction de répartition continue, ou bien si deux échantillons suivent la même loi.

Principe

Ce test repose sur les propriétés des fonctions de répartition empiriques. Soit sont n variables iid définies sur un espace de probabilité , à valeurs dans , avec pour fonction de répartition F. La fonction de distribution empirique basée sur l'échantillon est définie par :

est la fonction indicatrice de l' événement A.

Notons la variable aléatoire . On a la convergence suivante :

pour toute constante c>0. Le terme α(c) vaut 0,05 pour c=1,36.

Remarquons que la limite à droite ne dépend pas de F. Cela découle du fait que converge en loi vers un pont brownien changé de temps par l'inverse F−1 de F. La série α(c) se déduit des propriétés de ce dernier processus.

Il est ainsi facile de proposer un test d'hypothèse pour décider si un échantillon provient bien d'une loi donnée, ou si deux échantillons ont la même loi, lorsque leurs fonction de répartitions sont continues.

On peut aussi considérer et .

Le test de Kolmogorov-Smirnov est par exemple utilisé pour tester la qualité d'un générateur de nombres aléatoires [1].

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