Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est une représentation utilisée en mécanique des milieux continus pour caractériser l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées du milieu. Le terme a été introduit par Cauchy vers 1822.

Comme les efforts intérieurs sont définis pour chaque surface coupant le milieu (on parle d'ailleurs également d'efforts surfaciques), le tenseur est défini localement, en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ tensoriel. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.

Dans le cadre de l' élasticité linéaire, le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée, c'est-à-dire que l'on peut écrire l'équation tensorielle (et non algébrique) .

Dans le cadre de la géologie structurale et de la tectonique, on parle fréquemment de tenseur de paléo-contraintes. Il représente la partie anisotrope du tenseur des contraintes, responsable des déformations comme les plis, les failles ou les schistosités. La valeur absolue des termes de la matrice n'est pas accessible, mais il est possible de retrouver l'orientation du triaxe principal, ainsi que le rapport d'intensité entre ces trois axes.

Dans certains cas, il est possible de visualiser ces contraintes par la méthode de photoélasticimétrie.

Construction du tenseur

Dans les cas de sollicitation simples — traction/compression uniaxiale, flexion, torsion —, la contrainte peut être représentée par un simple nombre (scalaire). Par ailleurs, les logiciels de calcul par éléments finis restituent une carte couleur représentant la contrainte équivalente, qui est elle aussi un scalaire. Mais pour décrire précisément l'état de contrainte, il faut utiliser une matrice 3×3, ou un tenseur d'ordre 2.

Prenons une base et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arête infinitésimale dx = a, et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

numérotation des faces du cube

Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à , en partant du centre du cube, pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

Dans un premier temps, nous ne considérons que les faces numérotées positivement.

Indices des composantes du tenseur

Sur la face j s'exerce un vecteur-force qui a trois composantes :

Fij étant la composante selon du vecteur-force s'exerçant sur la face j.

La surface de chaque facette étant a2, on peut définir neuf composantes σij homogènes à des contraintes :

On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur

T est un tenseur d'ordre 2, à 3 lignes et 3 colonnes. Il est défini localement pour un point M donné.

En mécanique, on n'utilise pas toujours la notation généralisée pour la base. Si l'on note la base , les composantes du tenseur se notent alors :

Les termes hors diagonale correspondant à du cisaillement, on les note souvent τij , les composantes du tenseur se notent alors :