Série de Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique.

En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite (an) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes :

Ici, la suite (λn) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est un demi-plan ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse. Ce domaine peut-être vide ou égal à ℂ tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est holomorphe. Si la partie réelle de s tend vers plus l'infini, la fonction somme, si elle existe, tend vers 0.

Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L' hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet.

Définitions et exemples

Définitions

Il existe deux définitions différentes des séries de Dirichlet :

  • Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où (an) désigne une suite de nombres complexes :

Cet article utilise une définition plus générale [1] :

  • Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où (an) désigne une suite de nombres complexes et (λn) une suite réelle, positive, strictement croissante et non bornée :

La première définition correspond au cas particulier λn = ln(n).

  • On associe classiquement [1] à une telle série les deux fonctions

Exemples

  • Parmi les séries de Dirichlet « classiques », celles de la première définition, figurent les séries L de Dirichlet, qui correspondent aux cas où la suite (an) est totalement multiplicative et périodique. L'exemple le plus simple d'une telle suite (appelée un caractère de Dirichlet) est la suite constante an = 1, qui correspond à la série de Riemann
  • La théorie des séries de Dirichlet générales, en autorisant d'autres suites d'exposants λn que la suite (ln(n)), permet d'inclure d'autres théories classiques :
    • Si les valeurs λn vérifient : λn = n et que l'on note z = es, la série prend la forme :
      On retrouve la définition d'une série entière, à une constante additive près [2].
    • Dans le cas où λn = 2πn, le changement de variable s = –it montre qu'une série de Fourier est aussi un cas particulier de série de Dirichlet.
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