Relation binaire

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En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R sont dits en relation par R. Une telle relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles.

Par exemple, en géométrie plane, la relation d'incidence entre un point et une droite du plan « le point A est sur la droite d » est une relation binaire entre l'ensemble des points et l'ensemble des droites du plan. Les fonctions ou applications d'un ensemble E dans un ensemble F peuvent être vues comme des cas particuliers de relations binaires entre E et F.

Lorsque F = E, l'ordre des deux composantes d'un couple a son importance. Par exemple, la relation « … est strictement inférieur à … », notée <, sur l'ensemble N des entiers naturels est une relation sur N ; on note n < p pour indiquer que n et p sont en relation. Le couple (1, 2) est un élément du graphe, contrairement au couple (2, 1).

La notion de relation peut être généralisée à plus de deux arguments, voir «  Relation (mathématiques) ».

Introduction

De manière informelle, une relation entre deux ensembles est une proposition qui lie certains éléments du premier ensemble avec d'autres éléments du second ensemble.

Sur un ensemble F constitué de filles et un ensemble G constitué de garçons, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou une autre relation « Béatrice connaît Paul »… On peut donc voir la relation comme étant des fils reliant des éléments de deux ensembles.

Exemple de représentation sagittale dans le cas d'une composition externe entre deux ensembles disjoints.

Si la relation est une composition interne au sein du même ensemble, ou entre deux ensembles dont l'un recouvre totalement ou en partie l'autre, la représentation sagittale pourra être plutôt celle d'un graphe orienté, afin de ne positionner qu'une seule fois au même endroit sur le graphe les nœuds qui représentent des éléments présents dans les deux ensembles. (Le sens des flèches doit être explicitement indiqué, et les liens d'un nœud vers lui-même pour chacun des éléments liés réflexivement ne doivent pas être omis à moins qu'ils soient implicites pour tous les éléments d'une relation interne).

Dans le cas d'un ensemble fini, on peut alors tenter de représenter la relation par un diagramme. Si F = {Lucie, Béatrice, Delphine, Alice} et si G = {Bernard, Antoine, Paul, Charles}, la relation aime peut être schématisée par le diagramme joint (un tel diagramme est dit diagramme sagittal).

On peut également représenter cette relation, par un tableau à deux entrées, avec en première colonne la liste des éléments de l'ensemble de départ F, et en première ligne celle des éléments de l'ensemble d'arrivée G. Les couples sont représentés par des croix dans les cases à l'intersection de la ligne de la première composante et de la colonne de la seconde composante.

Exemple de représentation matricielle.
. Bernard Antoine Paul Charles
Lucie X X X .
Béatrice . X . .
Delphine . . . .
Alice X . X .


On pourra déplorer le fait que Delphine n'aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul.

On peut aussi tenter de faire la liste des couples ainsi en relation (pour plus de commodité, on ne conservera que les deux premières lettres du prénom) :

Gr = {(Lu,Be) , (Lu, An) , (Lu, Pa) , (Bé, An) , (Al, Pa) , (Al, Be)}

En mathématiques, un « couple » est formé de deux éléments mis entre parenthèses dans un ordre particulier. La relation est définie comme un ensemble de couples, c'est-à-dire que si deux éléments sont reliés entre eux, alors le couple est un élément de l'ensemble relation. Si l'on appelle F l'ensemble des filles, et G l'ensemble des garçons, alors l'ensemble de tous les couples possibles est appelé « produit cartésien de F par G » et est noté F × G et la relation aime est alors définie par l'ensemble F, l'ensemble G et un sous-ensemble de F × G.

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