Règle de Golomb

Règle de Golomb d'ordre 4 et de longueur 6. Cette règle est optimale et parfaite.

En mathématiques, une règle de Golomb, appelée ainsi en l'honneur du mathématicien Solomon W. Golomb, est une règle munie de marques à des positions entières, telle que deux paires de marques ne soient jamais à la même distance ; en d'autres termes, chaque couple de marques mesure une longueur différente des autres. Puisque n'importe quelle « translation entière » d'une règle de Golomb donne une règle de Golomb, la première marque est généralement portée sur 0.

Par définition, l'ordre d'une règle de Golomb est le nombre de marques qu'elle porte ; la longueur d'une règle de Golomb est la plus grande distance entre deux de ses marques. Il n'est pas nécessaire qu'une règle de Golomb permette de mesurer toutes les distances entre 0 et la longueur de la règle mais si c'est le cas, on dit qu'il s'agit d'une règle de Golomb parfaite. La plus courte règle de Golomb pour un ordre donné s'appelle une règle de Golomb optimale.

Construire une règle de Golomb n'est pas difficile mais trouver toutes les règles de Golomb d'un ordre donné est un défi informatique (voir distributed.net, un projet de calcul distribué actuellement en cours pour trouver des règles de Golomb optimales). Une des applications pratiques des règles de Golomb est la conception d'«  antenne réseau à commande de phase » comme dans les radiotélescopes. L'application la plus courante de la règle de Golomb aux antennes est la répartition des antennes des réseaux cellulaires.

Exemples

  • [0,1,3] (optimale) ;
  • [0,1,3,7] (pas optimale) ;
  • [0,1,4,6] (optimale) ;
  • [1,2,4,8,16... 2n...] (pas optimale).
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