Préfaisceau

En mathématiques, un préfaisceau sur un espace topologique X est (dans le langage des catégories) un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X dans une autre catégorie [1] ; cette définition, qui peut paraître ésotérique, va s'éclairer grâce aux exemples ci-dessous. On peut donc avoir des préfaisceaux d' ensembles, de groupes, d' anneaux ou de tout autre type de structures mathématiques. Les faisceaux sont des préfaisceaux qui peuvent être définis de manière locale. En géométrie, aussi bien d'ailleurs en géométrie algébrique qu'en géométrie différentielle, la notion de faisceau est une généralisation de celle d'ensemble des sections d'un fibré vectoriel. Dans ce cadre, X est une variété algébrique ou une variété différentielle.

Les faisceaux ont été introduits par Jean Leray en topologie algébrique lorsqu'il était en captivité durant la Seconde Guerre mondiale [2]. Sous l'impulsion, notamment, d' Henri Cartan [3], de Jean-Pierre Serre [4] et d' Alexandre Grothendieck [5], [6] (à qui on doit le terme préfaisceau), les faisceaux ont pris par la suite une importance considérable dans de nombreux domaines des mathématiques où l'on cherche à passer, pour un problème donné, d'une solution locale à une solution globale. Les obstructions à un tel passage s'étudient grâce à la cohomologie des faisceaux.

Préfaisceaux

Définition d'un préfaisceau —  Soit X un espace topologique et une catégorie. Un préfaisceau d'objets sur est la donnée de :

  • Pour tout ouvert U de X, un objet appelé objet des sections de sur U (ou au-dessus de U).
  • Pour tout ouvert V inclus dans U, un morphisme , appelé morphisme de restriction de U sur V ;

donnés tels que, pour toutes inclusions d'ouverts , on ait :

est appelé objet des sections globales.

De façon équivalente, on peut définir un préfaisceau comme un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X (avec les inclusions comme morphismes) dans .

Les préfaisceaux les plus courants sont à valeurs dans des catégories concrètes (catégories des ensembles, groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres, modules, espaces topologiques, groupes topologiques, etc.). Dans ce cas, pour tous ouverts , on note :

.

et un élément s'appelle une section de au-dessus de U. On écrit au lieu de .

Exemples

  • L'exemple fondamental de préfaisceau est celui où les morphismes de restriction sont les restrictions usuelles de fonctions. Notamment sur une variété différentielle (resp. une variété analytique) X, pour tout ouvert UX, l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de U vers les complexes (resp. l'ensemble des fonctions analytiques à valeurs complexes) est un anneau. Ces anneaux forment un préfaisceau d'anneaux sur X en considérant les restrictions usuelles des fonctions.
  • On peut de même considérer l'ensemble des distributions sur la variété différentielle X (resp. l'ensemble des hyperfonctions sur la variété analytique réelle X) si cette variété est de dimension finie et paracompacte (par exemple s'il s'agit d'un ouvert non vide de ); cet ensemble est un groupe abélien. On obtient le préfaisceau des distributions (resp. des hyperfonctions) sur X en considérant les restrictions de ces distributions (resp. de ces hyperfonctions) à des ouverts U de X.
  • Dans le plan complexe, une équation différentielle ordinaire, linéaire et à coefficients holomorphes, étant donnée, les espaces de solutions sur des ouverts évitant les points singuliers de l'équation forment un préfaisceau d'espaces vectoriels de dimension égale à l'ordre de l'équation.

Les exemples ci-dessus de préfaisceaux sont des faisceaux (voir infra).

Morphismes de préfaisceaux et de faisceaux

Les préfaisceaux sur un ensemble X peuvent être considérés comme des objets d'une catégorie, dont les flèches sont définies comme suit.

Définition d'un morphisme de préfaisceaux et d'un morphisme de faisceaux — Étant donné deux préfaisceaux et sur un même espace topologique X, un morphisme de préfaisceaux est la donnée d'une famille de morphismes pour tout ouvert U, telle que, pour toute section s de sur U on ait :

.

Un morphisme de faisceaux (voir infra) est un morphisme de préfaisceaux entre deux faisceaux.

Fibres et germes

Soit un préfaisceau sur X à valeurs dans une catégorie qui admet des limites inductives. La fibre ( EGA, 0.3.1.6) (terminologie anglaise : « stalk », tige) de en un point de X est par définition l'objet de limite inductive

la limite étant prise sur tous les ouverts contenant , la relation d'ordre sur ces ouverts étant l'inclusion , et les morphismes de transition étant les morphismes de restriction .

Lorsque est une catégorie concrète, l'image canonique d'une section s dans est le germe de s au point x, noté .

Remarque. Certains auteurs appellent germe de en un point ce qui est appelé ci-dessus la fibre de en ce point.