Préfaisceau

En mathématiques, un préfaisceau sur un espace topologique X est (dans le langage des catégories) un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X dans une autre catégorie[1] ; cette définition, qui peut paraître ésotérique, va s'éclairer grâce aux exemples ci-dessous. On peut donc avoir des préfaisceaux d'ensembles, de groupes, d'anneaux ou de tout autre type de structures mathématiques. Les faisceaux sont des préfaisceaux qui peuvent être définis de manière locale. En géométrie, aussi bien d'ailleurs en géométrie algébrique qu'en géométrie différentielle, la notion de faisceau est une généralisation de celle d'ensemble des sections d'un fibré vectoriel. Dans ce cadre, X est une variété algébrique ou une variété différentielle.

Les faisceaux ont été introduits par Jean Leray en topologie algébrique lorsqu'il était en captivité durant la Seconde Guerre mondiale[2]. Sous l'impulsion, notamment, d'Henri Cartan[3], de Jean-Pierre Serre[4] et d'Alexandre Grothendieck[5],[6] (à qui on doit le terme préfaisceau), les faisceaux ont pris par la suite une importance considérable dans de nombreux domaines des mathématiques où l'on cherche à passer, pour un problème donné, d'une solution locale à une solution globale. Les obstructions à un tel passage s'étudient grâce à la cohomologie des faisceaux.