Pi

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Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Pi, appelé parfois constante d’Archimède [a], est un nombre représenté par la lettre grecque minuscule du même nom : π. C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de la superficie d’un cercle au carré de son rayon.

Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près [b] est 3,141 592 653 589 793 en écriture décimale [1], [2].

De nombreuses formules, de physique, d’ ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques [3].

Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine [c].

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’ histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de « περίμετρος » — périmètre en grec —, n’est apparu qu’au XVIIIe siècle. Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

Définition et premières propriétés

Définition

On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’ aire d’un disque égale son demi- périmètre multiplié par son rayon.

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes [4], π est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif k, si un cercle possède un rayon r (ou un diamètre d = 2r) k fois plus grand qu’un autre, alors son périmètre P sera aussi k fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.

Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’ aire A par le carré de k, ce qui prouve maintenant que le rapport A/r2 est constant. On peut montrer [5] que cette constante vaut également π.

Le dessin ci-contre illustre ce phénomène : le périmètre du polygone vaut à peu près 2πr alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près πr2. Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de π.

Il s’avère que cette définition géométrique, historiquement la première et très intuitive, n’est pas la plus directe pour les mathématiciens quand ils veulent définir π en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés [6] définissent π par l’ analyse réelle à l’aide des fonctions trigonométriques elles-mêmes introduites sans référence à la géométrie (voir plus bas).

Autres définitions

  • Un choix fréquent est de définir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0, où cos est définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe [7].
  • Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés exp(z + w) = exp(z).exp(w) et exp(0) = 1 qui découlent de la définition analytique de l’ exponentielle et qui font que l’application t ↦ exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe (ℝ, +) vers le groupe (où est l’ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l’ensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme aℤ où a est un réel strictement positif. On pose alors π = a/2 [8]. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.
  • Le groupe Bourbaki propose une autre définition très voisine en démontrant l’existence d’un morphisme de groupes f continu de (ℝ, +) vers tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et qu’il existe un réel a tel que, pour tout réel x, f' (x) = 2ia f(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé [8].

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction t ↦ exp(it), ou la fonction t ↦ exp(2iπt).

  • Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant :

    ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de sommes de Riemann) l’aire d’un quart de disque de rayon 1.
  • Ou bien à l’aide du dénombrement, en appelant le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que k2 + p2n2 et en définissant :

    ce qui est une autre méthode pour calculer la surface du quart de disque.

Irrationalité

Preuve de l'irrationalité de π  (en).

Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire π = p/qp et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi, au IXe siècle, est persuadé que π est irrationnel [9]. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XIIe siècle.

Ce n’est cependant qu’au XVIIIe siècle que Jean-Henri Lambert prouve ce résultat. Il expose, en 1761 [10], un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Il en déduit qu'un développement de tan(m/n), avec m et n des nombres entiers non nuls, s’écrit [d] : .

Or sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par contraposition, cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue [11], [12]. Une preuve similaire, version simplifiée de celle de Charles Hermite [13], [14], avait été trouvée quelque temps auparavant par Mary Cartwright [15].

Transcendance

Le nombre π est même transcendant, c'est-à-dire non algébrique : il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont π soit une racine [16].

C'est au XIXe siècle que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors ex est transcendant. Or e est algébrique (puisqu'il est égal à -1). Par contraposition, est transcendant, donc comme i est algébrique, π est transcendant.

Une conséquence importante de la transcendance de π est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d'un cercle donné [17].

Représentation décimale

Les 16 premiers chiffres de l'écriture décimale de π sont 3,141 592 653 589 793 (voir les liens externes [1], [2], [18] pour davantage de décimales).

Alors qu'en 2013, on connaissait déjà plus de douze mille milliards de décimales de π [19], de nombreuses applications concrètes, comme l'estimation de la circonférence d'un cercle, n'ont besoin que d'une dizaine de chiffres. Par exemple, la représentation décimale de π tronquée à 39 décimales est suffisante pour estimer la circonférence d'un cercle dont le diamètre serait du même ordre de grandeur que la taille de l' univers observable avec un degré de précision comparable à celle d'un atome d' hydrogène [20], [21].

Étant donné que π est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique et ne prend pas fin. La séquence des décimales de π a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés [22], comme l'occurrence de nombres premiers dans les concaténations de ses décimales (voir la section d'article Nombre premier issu de troncature de constante.)

Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire la séquence de ces chiffres [23]. Les chiffres de la représentation décimale de π sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des décimales de π qui peuvent en générer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur personnel.

Par ailleurs, le développement décimal de π ouvre le champ à d'autres questions, notamment celle de savoir si π est un nombre normal, c’est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. On peut aussi se demander si π est un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n'existait pas de réponse à ces questions [24].

Représentation fractionnaire

Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcher pi dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) :

Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires ( Histoire, Approximation numérique, fractions continues et Mémorisation de π).

Approximation de π

Article détaillé : Approximation de π.

On peut trouver une valeur approchée de π de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre Pn d’un polygone régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit [25]. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de π.

Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à 96 côtés, à déterminer [26] que 3 + 1071 < π < 3 + 17.

On peut également obtenir des valeurs approchées de π en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer π se basent sur la trigonométrie et le calcul intégral. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la formule de Leibniz [27] :

Cette série converge si lentement que pour calculer π avec une précision de 6 décimales il faut presque 2 millions d'itérations. Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers π beaucoup plus rapidement, en posant : et en définissant :

Le calcul de π10,10 demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les 150 premiers termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car π10,10 = 3,141592653… approche π avec neuf décimales exactes [e]. On trouvera plus loin des méthodes de calcul plus élaborées, donnant des convergences bien plus rapides encore.

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