Ouvert (topologie)

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En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique.

Définition générale

Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques. Des définitions spécifiques plus explicites existent pour des sous-types d'espaces topologiques tels que les espaces métriques, espaces vectoriels normés ou autres. Ces définitions restent cependant cohérentes avec cette définition générale.

Article détaillé : Espace topologique.

Sur un ensemble E, on peut définir une topologie T comme un ensemble de parties de E vérifiant les trois propriétés suivantes :

  • E et l' ensemble vide appartiennent à T ;
  • T est stable par intersection finie : U1U2 appartient à T dès que U1 et U2 appartiennent à T ;
  • T est stable par réunion quelconque : pour tout ensemble I (fini ou infini) d'indices, ∪iIUi appartient à T dès que tous les Ui appartiennent à T.

Alors par définition un sous-ensemble U de E est un ouvert de E pour la topologie T si et seulement si U appartient à T (il en résulte que la topologie T peut être définie comme l'ensemble des ouverts de E selon T).

Les espaces topologiques les plus couramment étudiés sont munis de diverses structures supplémentaires :

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