Notation bra-ket

La notation bra-ket [1] a été introduite par Paul Dirac en 1939 [2] (on l'appelle aussi formalisme de Dirac [1]) pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique.

Le nom provient d'un jeu de mots avec le terme anglais bracket qui signifie « crochet de parenthèse », en l'occurrence «  » et «  » qui avec l'adjonction d'une barre verticale «  » sont respectivement appelés « bra » et « ket ». Cette notation est depuis reprise dans l’étude mathématique de l’algèbre des opérateurs, dont le champ d’application est plus large.

Usage en mécanique quantique

La structure mathématique de la mécanique quantique se prête à l'application de la théorie des représentations pour facilement représenter divers objets de la théorie par leur contrepartie en algèbre linéaire :

  • Les divers états quantiques d'un système peuvent être représentés par des vecteurs dans un espace complexe de Hilbert (la structure exacte de cet espace dépend de la situation). Souvent, l'état peut être étiqueté à l'aide de nombres quantiques  : dans ce cas, on dénote alors l'état simplement par . Un état pourrait par exemple représenter l'état dans lequel se trouve l'électron d'un atome d'hydrogène à un moment donné ;
  • Une superposition d'états quantiques peut être représentée par une combinaison linéaire d' états propres. Par exemple, un électron dans l'état est dans une superposition quantique des états et  ;
  • Les mesures sont représentées par des opérateurs linéaires (appelés observables) sur l'espace de Hilbert des états quantiques ;
  • L'évolution d'un système quantique est ainsi décrite par l'action des opérateurs linéaires sur la fonction d'onde dans l'espace de Hilbert. Par exemple, dans la représentation de Schrödinger, l'opérateur linéaire d'évolution temporelle agit de manière telle que si un électron se trouve dans l'état , il se trouvera un instant plus tard dans l'état .

Puisqu'un grand nombre de calculs en mécanique quantique implique les objets mentionnés ci-haut, l'usage de la notation bra-ket est donc très utile.

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