Nombre de Mersenne premier

Le moine français Marin Mersenne (1588-1648).

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme : une puissance de 2 moins 1. Ils constituent la suite d'entiers

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Ces nombres doivent leur nom à un religieux érudit et mathématicien français du XVIIe siècle, Marin Mersenne.

Un nombre premier de Mersenne [2], ou nombre de Mersenne premier, est un nombre qui est à la fois de Mersenne et premier. Pour que le n-ième nombre de Mersenne Mn soit premier, il est nécessaire — mais non suffisant — que son indice n le soit. Par exemple, M4 n'est pas premier puisque 4 ne l'est pas (d'ailleurs, 24 – 1 = 15 = 3 × 5), et M11 n'est pas premier non plus bien que 11 le soit : M11 = 211 – 1 = 2 047 = 23×89.

La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée . Les plus petits nombres de Mersenne premiers sont donc :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;

Propriétés des nombres de Mersenne

Les nombres de Mersenne ont les propriétés suivantes :

  • Ils constituent la suite de Lucas U(3, 2) (la suite des répunits en base 2).
  • Par conséquent, pgcd(Mm, Mn) = Mpgcd(m,n) (pour tous m, n > 0). En particulier si m divise n alors Mm divise Mn. Donc si n n'est pas premier alors Mn n'est pas premier. Ainsi, lorsqu'on cherche des nombres de Mersenne premiers, on sait déjà qu'il faut se limiter à des Mp avec p premier. Il faut ensuite affûter les critères de sélection des nombres premiers p.
  • D'après le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, pour un nombre premier p impair, Mp est premier si et seulement si Mp divise Sp–1, où S1 = 4 et pour k ≥ 1, Sk+1 = Sk2 – 2.
  • Si a divise Mp avec p premier impair alors :
  • Un théorème d'Euler entraîne que pour q premier supérieur ou égal à 5, Mq est premier si et seulement s'il existe un unique couple (x, y) tel que . Bas Jansen [3] a étudié pour d compris entre 0 et 48.
  • Soit q ≡ 3 (mod 4) premier. Alors, 2q + 1 est aussi premier si et seulement s'il divise Mq [4].
  • Ramanujan a conjecturé (en 1913) que l'équation Mq = 6 + x2 a seulement trois solutions où q est premier : q = 3, 5 ou 7 (et deux autres solutions où q est non premier : q = 4 ou 15), ce qui fut démontré  (en) par Trygve Nagell  (en) en 1948.
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