Nombre complexe

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Représentation graphique du complexe x + iy = reiφ à l'aide d'un vecteur. Mise en évidence de l'interprétation graphique de son module r et d'un de ses arguments φ.

En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire (noté généralement i) [1] tel que i2 = –1.

Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme a + iba et b sont des réels.

On peut munir l'ensemble des nombres complexes d'une addition et d'une multiplication qui en font un corps commutatif contenant le corps des nombres réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note . La notion de valeur absolue définie sur l'ensemble des nombres réels peut être étendue à l'ensemble des nombres complexes et prend alors le nom de module. Mais on ne peut pas munir l'ensemble des nombres complexes d'une relation d'ordre qui en ferait un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de comparer deux complexes en respectant les règles opératoires valables pour les nombres réels.

Les nombres complexes furent introduits au XVIe siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du quatrième degré ( méthode de Ferrari).

Ce n'est qu'à partir du XIXe siècle, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy, que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes. On les associe à des vecteurs ou des points du plan. Les transformations du plan s'expriment alors sous forme de transformations complexes.

En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss énonce qu'un polynôme complexe non constant possède toujours au moins une racine complexe. Le corps des nombres complexes est dit algébriquement clos. On peut ainsi identifier le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité.

En analyse, l' exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier, puis de définir la transformée de Fourier. La branche de l' analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.

En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d' oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(et) représentant une onde).

L' ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un système dynamique dans le plan complexe.

Présentation

Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent être présentés sous plusieurs formes, algébriques, polaires, ou géométriques.

Forme algébrique

Un nombre complexe z se présente en général sous forme algébrique comme une somme a + ib, où a et b sont des nombres réels quelconques et où i (l’ unité imaginaire) est un nombre particulier tel que i2 = –1.

Le réel a est appelé partie réelle de z et se note Re(z) ou ℜ(z), le réel b est sa partie imaginaire et se note Im(z) ou ℑ(z).

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z =ib. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur. Bien sûr la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs. Dans les textes anciens, de tels nombres, avant de s'appeler «complexes», s'appelaient «imaginaires», ce qui explique l'habitude persistante d'appeler «imaginaires purs» ceux ne comportant pas de partie réelle.

Forme polaire

Pour tout couple de réels (a , b) différent du couple (0,0), il existe un réel positif r et une famille d'angles θ déterminés à un multiple de 2π près tels que a = r cos(θ) et b = r sin(θ). Tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique : z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec r > 0.

Le réel positif r est appelé le module du complexe z et est noté |z|.

Le réel θ est appelé un argument du complexe z et est noté arg(z).

On écrit parfois ce même complexe sous les formes suivantes :

    • z = reiθ, forme exponentielle utilisant la formule d'Euler
    • z = (r, θ) = rθ, forme polaire
    • z = r (cosθ + i sinθ) = r cis(θ) (ce qui définit la notation cis [2] )

Le module du complexe z est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires :

Pour calculer un argument θ à partir de la forme algébrique a + ib, on peut utiliser les fonctions arccos, arcsin ou arctan :

Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de , les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de π.

Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à π/2 ou –π/2 modulo , selon le signe de leur partie imaginaire.

Forme géométrique

Représentation géométrique d'un nombre complexe.

Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé , l'image d'un nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a, b), son image vectorielle est le vecteur . Le nombre z est appelé affixe du point M ou du vecteur (affixe est féminin : une affixe).

Le module |z| est alors la longueur du segment [OM].

Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. Est argument de z n'importe quelle mesure θ en radians de l' angle , bien définie à un multiple de près.

Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.

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