Modèle mathématique

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Un modèle mathématique est une traduction d'une observation dans le but de lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde réel. Le mot modélisation est aussi très utilisé dans le monde du graphisme, où l'on modélise des objets en 3D ou en 2D.

Généralités

Multiplicité de buts

Un modèle se rapporte toujours à ce qu’on espère en déduire. Un même objet, par exemple une souris, ne sera pas modélisé de la même façon selon que l'on s'intéresse à

  • ses performances intellectuelles ;
  • ses maladies et leurs soins, voire ceux d'un groupe d'animaux apparentés mais plus large (tous les mammifères dont l'Homme) ;
  • la façon de la dessiner de manière convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo.

De même, un modèle n'est jamais parfait, ni totalement représentatif de la réalité : le choix des paramètres et des relations qui les lient éclaire la finalité. Au sein d’un même modèle, le choix des valeurs des paramètres peut permettre d’appréhender divers aspects, ou encore des réalités différentes.

Multiplicité des modélisations

Même lorsque le but est fixé, il y a souvent plusieurs modèles possibles dont chacun présente des avantages spécifiques.

« Dans toute modélisation, il y a un choix a priori de l’environnement mathématique servant à décrire l’ensemble des phénomènes. La formulation s'identifie rarement aux manifestations physiques réelles. »

Ainsi en physique, il est commode d'utiliser un espace tridimensionnel euclidien, ou un espace « courbe », ou un espace à 4, 5, 11 ou 26 dimensions, ou un espace de Hilbert, etc. Bien qu'il soit généralement possible de montrer une grande proximité de ces différentes représentations, elles s'avèrent toutefois plus ou moins bien adaptées à la situation considérée. Ces formulations théoriques restent des modèles utiles pour appréhender la réalité, mais ils s'en distinguent. Par exemple, lorsqu'un physicien déclare que « l'univers est en expansion », il faut bien comprendre qu'il affirme implicitement que « par rapport à mon cadre mathématique, tout se passe comme si… ». Un autre physicien peut affirmer que « l'univers n'est pas en expansion » : ils peuvent être parfaitement d'accord si les formulations mathématiques sont distinctes.

La même remarque s'applique à d'autres domaines, en particulier aux modèles économiques et comptables dont les résultats et les décisions qui en découlent ont des conséquences économiques et fiscales importantes : l'archétype de la modélisation économique étant le cadastre fiscal et les bases de la taxation immobilière, dont tout le monde sait bien qu'elles sont « fausses », c’est-à-dire qu'elle ne reflètent qu'imparfaitement la valeur réelle qui est censée servir de référence.

Tout ceci sans ignorer la réalité : bien qu'un modèle de génie civil pour la construction d'un pont garantisse la robustesse de l'ouvrage, il n'est pas exclu qu'il finisse par s'écrouler (par contre, si le modèle indique que telle variante est trop faible, il serait insensé de la réaliser).

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