Mécanique analytique

La mécanique analytique est une branche de la mécanique, dont elle constitue une formulation très mathématisée et de portée très générale. La mécanique analytique s'est avérée un outil très important en physique théorique. En particulier, la mécanique quantique emprunte énormément au formalisme de la mécanique analytique.

Contrairement à la mécanique d' Isaac Newton qui s'appuie sur le concept de point matériel, la mécanique analytique se penche sur les systèmes arbitrairement complexes, et étudie l'évolution de leurs degrés de libertés dans ce qu'on appelle un espace de configuration.

Les lois du mouvement sont quant à elles déduites d'un principe variationnel qui, appliqué à une grandeur appelée action, donne le principe de moindre action. En substance, le principe de moindre action énonce que parmi toutes les trajectoires possibles pour relier deux points de l'espace de configuration, celle qui est effectivement parcourue par le système est celle qui donne une valeur extrémale à l'action.

Mécanique lagrangienne

Étant donnés deux points A et B de l'espace de configuration, et une trajectoire effectivement parcourue, la donnée d'un point C sur cette trajectoire fait apparaître deux trajectoires intermédiaires et . Ces deux trajectoires étant effectivement parcourues, elles doivent nécessairement donner une valeur extrémale à l'action pour leurs points de départ et d'arrivée respectifs. La somme de ces deux actions sera alors extrémale par rapport à toutes les trajectoires possibles entre A et B passant par C, ce qui suggère que la somme de l'action entre A et C d'une part, et C et B d'autre part, est égale à l'action de la trajectoire correspondante entre A et B passant par C:

En appliquant ce raisonnement à une infinité de points répartis sur une trajectoire reliant les points A et B, on peut écrire l'action ainsi:

où s est la position du système dans l'espace de configuration, et ds est un élément infinitésimal de déplacement sur la trajectoire considérée. est ce qu'on appelle le lagrangien, du nom du physicien français Joseph-Louis Lagrange. Il ne dépend pas de la trajectoire mais uniquement de la position dans l'espace de configuration.

En mécanique classique non-relativiste, l'espace de configuration est constitué par les degrés de libertés du système et leurs dérivées par rapport au temps, de telle sorte que l'expression de l'action s'écrit le plus souvent:

la position du système dans l'espace de configuration, et la dérivée de par rapport au temps. Le fait que l'intégrale est calculée pour une trajectoire donnée entre deux points est ici implicite. L’expression exacte du lagrangien est quant à elle obtenue en général à l'aide de considérations sur les symétries observées par le système.

Les lois du mouvement sont ensuite obtenues à partir de ce qu'on appelle le calcul variationnel, qui permet de calculer un élément infinitésimal de variation de l'action entre deux trajectoires infiniment proches.

Une intégration par parties [1] permet alors de réécrire cette expression ainsi:

Ce qui, dans le cas où par application du principe de moindre action on a , aboutit aux équations du mouvement dites d'Euler-Lagrange:

Ces équations constituent la base de la mécanique lagrangienne.

Le principe de d'Alembert est parfois utilisé pour parvenir au même résultat, avec comme avantage qu'il permet d'obtenir une expression du Lagrangien:

et sont respectivement l' énergie cinétique et l' énergie potentielle du système.

Une manière intuitive pour retrouver l'expression du Lagrangien consiste à considérer les écritures de l'impulsion et du champ de force dans l'espace cartésien:

Comme l'impulsion ne dépend pas de la position et le champ de force ne dépend pas de la vitesse, l'expression permet de retrouver l'un et l'autre en dérivant respectivement par la vitesse et la position.

L'équation d'Euler-Lagrange s'avère alors être l'exact équivalent de la première loi de Newton:

Le principal avantage de l'équation d'Euler-Lagrange par rapport à la première loi de Newton est qu'elle reste valable dans le système de coordonnées généralisées et non uniquement dans le système de coordonnées cartésiennes .

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