Localisation (mathématiques)

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En algèbre, la localisation [1] est une des opérations de base de l' algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation.

Notion intuitive

La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau « plus grand » dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. Par exemple, le localisé de en l'idéal premier est l'anneau , dans lequel tout nombre entier qui n'est pas multiple de admet un inverse. Cet anneau correspond à une structure d' anneau à valuation discrète car il est de plus principal.