Kurtosis

En théorie des probabilités et en statistique, le kurtosis (du grec κύρτωσις, « courbure », dérivé de κυρτός, « courbe, arrondi, bossu »), plus souvent traduit par coefficient d’aplatissement ou coefficient d’aplatissement de Pearson, correspond à une mesure de l’aplatissement, ou a contrario de la pointicité, de la distribution d’une variable aléatoire réelle.

C’est le deuxième des paramètres de forme, avec le coefficient de dissymétrie (les paramètres fondés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom attribué).

Il mesure, hors effet de dispersion (donnée par l’ écart type), la disposition des masses de probabilité autour de leur centre, tel que donné par l’ espérance mathématique, c’est-à-dire, d’une certaine façon, leur regroupement proche ou loin du centre de probabilité.

Définitions

Kurtosis non normalisé (coefficient d’aplatissement)

Étant donnée une variable aléatoire réelle d’ espérance et d’ écart type , on définit son kurtosis non normalisé comme le moment d’ordre quatre de la variable centrée réduite :

lorsque cette espérance existe. On a donc :

avec les moments centrés d’ordre .

Kurtosis normalisé (excès d’aplatissement)

Le kurtosis non normalisé étant défini en fonction de moments centrés, il est malaisé à manipuler lorsqu’il s’agit de calculer celui de la somme de variables indépendantes.

On définit ainsi le kurtosis normalisé en fonction de cumulants :

Sachant que et [1], on a alors :

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