Indice boursier

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Un indice [1] boursier [2] désigne, quasiment toujours [3] depuis la fin du XXe siècle [4], un nombre dont le taux de croissance, entre deux dates, est celui de la juste valeur [5] d'un portefeuille théorique [6] d'actions cotées sur les marchés organisés appartenant à une liste d'entreprises sélectionnée par des choix raisonnés [7]. Cette liste est susceptible d'être remaniée [8] au cours du temps par l'« homme de l'art » [9] en utilisant cette même méthode non probabiliste à des dates dites « de révision de l'indice ».

Tant que ce portefeuille n'est pas modifié [10], l'indice élémentaire [11] de sa juste valeur à une date courante est également un indice synthétique [12] des cours des titres qui le composent (cf. §1.4), susceptible d'être retenu pour résumer leur évolution relative d'ensemble [13] depuis une date de base [14].

Généralités

Indices boursiers usuels

L'utilisateur interprète plus ou moins commodément les variations d'un indice boursier quand le portefeuille théorique de référence associé comprend, pour chaque entreprise sélectionnée, à sa construction puis lors de chacune de ses éventuelles révisions :

  • un même nombre d'actions ; dans ce cas (cf. 3.3), le portefeuille et l'indice de sa juste valeur sont dits, par abus de langage, « pondérés par les prix »  (en) [15] ;
  • des nombres d'actions tels que la juste valeur allouée à chacune représente une même fraction du total ; dans ce cas (cf. 3.2), le portefeuille et l'indice de sa juste valeur sont dits, par abus de langage, « équipondérés » [16] ;
  • des nombres d'actions proportionnels à ceux des titres inscrits à la cote (respectivement à ceux appartenant aux « flottants [17] ») ; dans ce cas (cf. 3.1), le portefeuille et l'indice de sa juste valeur sont dits, par abus de langage, «  pondérés par les capitalisations  (en) [18] » totales (respectivement flottantes).

Remarques :

  1. Ce jargon se comprend en interprétant la formule mathématique de l'indice élémentaire de la juste valeur du portefeuille de référence associé à l'indice sous la forme d'une moyenne arithmétique pondérée des indices élémentaires des cours des actions des entreprises sélectionnées (cf. §1.4.2).
  2. L'estimation statistique d'une variation relative d'ensemble de cours boursiers depuis une date de base dépend avant tout du champ couvert par l'indice, c'est-à-dire des caractéristiques [19] des entreprises retenues pour construire puis réviser [20] le portefeuille de référence associé. Sur une période courte, l'expérience montre que le choix d'une formule de pondération plutôt qu'une autre ne joue qu'un rôle secondaire [21].
  3. La juste valeur d’un portefeuille n'est une estimation raisonnable de sa valeur en bourse que si les actions qui le composent sont liquides [22], ce qui suppose que les nombres de titres retenus pour le construire soient négligeables par rapport à ceux négociées chaque jour. La juste valeur de l’ensemble des actions d'une société est ainsi, du point de vue d’un financier ou d’un comptable, une estimation farfelue [23] de sa valeur comme le montre sa brusque évolution lors d'une offre publique d'achat (OPA), par exemple. Cette estimation fluctue d'ailleurs à la hausse comme à la baisse sous l'effet d'anticipations spéculatives contradictoires d'une poignée d'investisseurs qui s'échangent entre eux chaque jour des volumes insignifiants de titres par rapport à ceux inscrits à la cote.
  4. Même si la plupart des fournisseurs d’indices utilisent de nos jours des portefeuilles de référence pondérés par des capitalisations totales ou flottantes, souvent plafonnées (cf. §3), ce qui rend leurs constructions opaques [24], cette méthode ne possède aucun avantage particulier pour celui qui souhaite investir en bourse. Un indice boursier pondéré par les capitalisations n'est d'ailleurs pas utilisé de la même manière par un économiste et un financier : son évolution relative sur une période donnée peut être éventuellement retenue par le premier pour estimer la «  tendance » [25] d'un marché boursier, et par le second comme référence pour juger de la rentabilité d'un investissement.

Utilité des indices

Les indices boursiers sont utilisés principalement :

  • par les opérateurs en bourse désireux de réagir rapidement à l’évolution des différents marchés,
  • par les investisseurs à la recherche de références susceptibles de juger de la rentabilité de leurs placements,
  • par les gérants de fonds indiciels engagés auprès de leurs clients à répliquer le plus fidèlement possible les évolutions d'indices,
  • par les économistes qui ont besoin de réévaluer, au cours du temps, certains types d'actifs dans tel ou tel secteur.

Les médias attachent beaucoup d'importance aux variations des indices qu'ils diffusent, sans se soucier de la variabilité habituelle des mesures [26] et lient à tort les évolutions des indices boursiers des différentes places financières à la plus ou moins bonne santé des économies nationales [27].


Sous-jacent à un fonds indiciel

Le portefeuille de référence théorique associé à un indice boursier destiné à être choisi comme sous-jacent à un fonds indiciel coté [28] doit comprendre des titres suffisamment liquides de façon à pouvoir être calculé à tout instant de façon fiable [29] et d'une taille raisonnable [30] pour faciliter sa réplication [31].

Benchmark

Le portefeuille théorique associé à un indice boursier susceptible d'être choisi comme benchmark (i.e. comme référence) pour juger de la rentabilité d'un portefeuille détenu par un investisseur (ou de celle d'un fonds géré par un organisme de placement collectif en valeurs mobilières) doit comprendre des titres appartenant à la même classe de risque [32] que ceux composant le portefeuille réel (ou le fonds commun de placement).

Indices de la juste valeur d'un portefeuille

Valeur de base

À quelques exceptions notables près (Dow Jones averages et Nikkei 225), la plupart des indices boursiers sont déduits des indices élémentaires de la juste valeur de portefeuilles de référence théoriques en appliquant un facteur d'échelle (un grossissement : ×100, ×1 000, ×1 500, ×3 000, ×5 000, etc.), appelé « valeur de base » dans le jargon statistique, suivi généralement d'un arrondi à la deuxième décimale [33] ce qui fixe la précision des calculs [34]. La variation relative de la juste valeur du portefeuille de référence entre deux dates s'obtient donc indifféremment, aux erreurs d’arrondis près, en calculant la variation relative de l'indice élémentaire de cette juste valeur ou celle de l’indice boursier publié, utilisant la valeur de base choisie par l'homme de l'art.

  • Exemple : NYSE Euronext publie l’indice élémentaire de la juste valeur du portefeuille de référence associé au CAC large 60 [35] dont la date de référence est le 3 janvier 2006 en retenant un facteur d’échelle égal à 5 000 [36]. Dire que le CAC large 60 du vendredi 22 mai 2015 à 17 h 22 min 30 s (date courante) valait 5 693,00 sur base 5 000 le 3 janvier 2006 est équivalent à dire que la juste valeur du portefeuille de référence a augmenté de (5 693-5 000)÷5 000=13,86 % entre la date de référence et la date courante.
Pour rappeler le facteur d’échelle (5000) utilisé pour énoncer cet indice boursier ainsi que la date de référence (clôture du mardi 3 janvier 2006), il est d’usage de noter « 3/1/2006=5000 » à la suite du nombre 5 693,00. Pour reconstituer l'indice élémentaire de la juste valeur du portefeuille théorique qui rapporte celle observée à la date courante à celle du 3 janvier 2006, il suffit de diviser le CAC large 60 par 5 000, ce qui conduit à : 5 693÷5 000=1,1386.
À la clôture précédente, le CAC large 60 valait 5 700,30. On en déduit sa variation absolue : 5 693,00-5 700,30=-7,30 ainsi que sa variation relative : -7,3÷5700,30≈-0,13 % ; autrement dit, la baisse de cet indice boursier depuis la clôture du jeudi 21 mai 2015 à 17 h 35 min 15 s est égale à 7,30 en valeur absolue et environ 0,13 % en valeur relative.

Pour ne pas compliquer inutilement la lecture des formules utilisées dans les développements théoriques, il est d’usage de présenter ces indices boursiers en vraie grandeur, c’est-à-dire sans procéder à un changement d’échelle, on dira ci-après en « base 1 », ce qui a l'avantage de faire disparaître tout problème éventuel d’interprétation [37].

Points d'indice

L'homme de l'art choisit souvent 1 000 comme valeur de base (CAC 40, FTSE, DAX, etc.) mais pas toujours. Le CAC Next 20 et le CAC Mid 60 s'énoncent par exemple en base 3 000, le CAC Large 60 en base 5 000, le NASDAQ Composite  (en) en base 100, le S&P 500 en base 10... Les indices élémentaires des justes valeurs des portefeuilles associés à ces indices boursiers pourraient donc se déduire des indices boursiers correspondants en les exprimant respectivement en « pour mille », « pour trois mille », « pour cinq mille », « pour cent », « pour dix » [38] mais les médias en ont décidé autrement puisqu'ils ont choisi d’énoncer tous ces indices boursiers en utilisant d’illusoires et énigmatiques « points », comme s'il s'agissait d'une unité, générant ainsi de regrettables confusions auprès du public qui ne connaît pas nécessairement par cœur toutes les bases des indices boursiers proposés par les sociétés spécialisées [39].

Bref, qu'on se le dise : le point d'indice [40] est une chimère dont les professionnels doivent avoir appris à se méfier.

Un « point » du CAC Large 60 n'a par exemple rien de commun avec un « point » du CAC 40 puisque les bases de ces deux indices ne sont pas les mêmes.

Contrairement à la plupart des indices boursiers qui sont des nombres purs (i.e. qui n'ont pas d'unité), les Dow Jones Averages (cf. §6) et le Nikkei 225 sont égaux aux justes valeurs de portefeuilles de référence construits puis révisés en utilisant respectivement des titres cotés à New York et à Tokyo. Ils s'énoncent également avec deux décimales mais évidemment en dollars (et en cents) pour les premiers et en yens (et centièmes de yens) pour le second... Ces indices boursiers s'exprimant en unités monétaires, il n'y a aucun intérêt à les affubler d'une base pour les énoncer, c'est-à-dire à les multiplier par un facteur d'échelle [41].

Indice nu, indice de rentabilité

Les financiers appellent respectivement indice de la «  nue-propriété » (indice « nu » en abrégé) et «  indice de rentabilité  (en) » d’un portefeuille de valeurs mobilières, l'indice élémentaire de la juste valeur du compte titres seul (sur lequel sont inscrits les différents titres) et celui de sa pleine propriété [42], qui tient compte également de l'éventuel usufruit (dividendes et coupons) crédité sur le compte courant bancaire associé puis éventuellement plus ou moins rapidement réinvesti en achetant de nouveaux titres.

Les achats ou ventes étant comptabilisés à leurs justes valeurs, les frais liés à la détention et au négoce de valeurs mobilières (droits de garde, commissions, taxes, impôts, etc.) sont négligés.

  • Notations
On désignera ci-après par :
, la liste des différentes valeurs mobilières des entreprises choisies par l'homme de l'art pour composer un portefeuille de référence, inchangé depuis sa dernière révision à une date [43] notée « r ».
« k », un numéro d'ordre chronologique utile pour repérer les différentes séances boursières successives qui se sont déroulées depuis celle de la dernière révision (en particulier,«  k=j » et « k=j-1 » désigneront respectivement la séance courante et celle qui la précède),
, le nombre de titres de la valeur mobilière retenu lors de la dernière révision [44] du portefeuille de référence, à la date « r »,
et , les cours en bourse dans la devise retenue par l'homme de l'art (supposée être ici l'euro [45]) de la valeur mobilière respectivement à l'instant « t » de la séance courante et à la date « r » de la dernière révision.
  • Propriété de transitivité
La juste valeur (en euros) d'un portefeuille de valeurs mobilières étant une grandeur simple (c'est-à-dire repérée par un seul nombre, à un instant donné), son indice élémentaire possède, comme toute fraction, une propriété essentielle dite de transitivité. Cette dernière permet de calculer par récurrence l’indice de la juste valeur du portefeuille, « base 1 » à une date choisie pour référence, notée traditionnellement « 0 », en enchaînant les différents indices successifs mesurant son évolution depuis cette date, c’est-à-dire en les multipliant [46].
  • Calcul de l'indice nu
1°) L'indice nu (« price index » en anglais) à l'instant « t » de la séance courante, base 1 à la date « r » de la dernière révision, s'obtient [47] :
- soit, directement, en rapportant la juste valeur du portefeuille de référence calculée à l'instant « t » à celle à la date « r » de la dernière révision :  ;
- soit, par récurrence (en utilisant la propriété de transitivité des indices élémentaires), c'est-à-dire en enchaînant l'indice nu à l'instant « t », base 1 à la clôture de la séance boursière précédente [48] à celui , base 1 à la date « r » de la dernière révision, calculé à la clôture de la veille : .
2°) L’indice nu à l'instant « t » de la séance boursière courante, base 1 à la date « 0 » de référence, s’obtient en enchaînant celui calculé à la date « r » de la dernière révision à l'indice calculé ci-dessus : .
  • Calcul de l'indice de rentabilité
1°) L’indice de rentabilité (« return index » en anglais) à l'instant « t » de la séance courante, base 1 à la clôture de la séance précédente, s'obtient de la façon suivante : désigne le flux de trésorerie engendré par la détention des valeurs mobilières composant le portefeuille de référence, encaissé en «  date valeur » de la séance courante (la « jème » depuis celle de la dernière révision). L'indice de rentabilité se déduit donc de l’indice nu de la façon suivante : , c'est-à-dire en l'augmentant d'un taux de rendement en valeur absolue [49].
2°) L’indice de rentabilité à l'instant « t » de la séance courante, base 1 à la date « 0 » de référence, dépend de la façon de gérer les éventuelles rémunérations encaissées liées à la détention des titres appartenant au portefeuille de référence. L'indice de rentabilité s'obtient en enchaînant l’indice journalier à celui calculé à la clôture de la séance précédente quand on suppose que le flux de trésorerie est réinvesti à chaque séance en achetant les différentes valeurs mobilières composant le compte titres sur la base des coefficients budgétaires et des cours de clôture de la veille : .
  • Bases de données boursières
Des bases de données boursières [50] sont construites pour faciliter le calcul des indices de rentabilité et des taux de rendement.

Indices nets et bruts

Un indice boursier est qualifié de « net » ou de « brut » selon qu’il est calculé après ou avant d’avoir tenu compte d’un prélèvement fiscal. Il existe ainsi par exemple trois CAC 40 de capitalisation [51].

Interprétation statistico-mathématique de l'indice nu

Indice-chaîne

L'indice nu proposé par l'homme de l'art est presque toujours un indice-chaîne [52] dans lequel chaque maillon est l'indice élémentaire [53] de la juste valeur de la nue-propriété d'un portefeuille théorique bien précis dont la composition [54] demeure inchangée au cours du temps entre deux dates de révision successives.

Forme « développée »

Un statisticien-économiste analyse la construction du dernier maillon de la chaîne en développant sa formule, c'est-à-dire en écrivant l'indice élémentaire de la juste valeur du portefeuille de référence pour l'interpréter comme une moyenne d'indices élémentaires appelée « indice synthétique » [55] des cours boursiers des valeurs mobilières des sociétés sélectionnées. L'indice élémentaire de la juste valeur d'un compte titres à l'instant « t » de la séance courante, base 1 à la date « r » de sa dernière révision, est en effet également une moyenne pondérée des indices élémentaires des cours , appelée sa « forme développée », à condition de choisir des coefficients de pondération en conséquence [56]. Plus précisément, si la moyenne utilisée est arithmétique (respectivement harmonique), ces coefficients sont les proportions de la juste valeur du portefeuille que représentent les différents titres à la date « r » de sa dernière révision (respectivement à l'instant « t » de la séance courante).

Deux économistes allemands [57] de la deuxième moitié du XIXe siècle sont devenus célèbres pour avoir proposé de construire des indices synthétiques de prix à la consommation [58] en utilisant pour pondération des coefficients budgétaires [59], le premier en effectuant une moyenne arithmétique et le second une moyenne harmonique d'indices élémentaires de prix.

Coefficients budgétaires

Pour un statisticien-économiste,

  • construire un indice boursier d'actions revient à choisir un système de « coefficients budgétaires » , c'est-à-dire les proportions d'un budget à allouer à l’achat des différentes actions des entreprises retenues d'un premier portefeuille de référence pour en déduire les nombres de titres (éventuellement fractionnaires) à acquérir de l'observation des cours et taux de change sur les marchés financiers ;
  • réviser par autofinancement le portefeuille de référence précédent consiste à évaluer sa juste valeur à une date et choisir de nouveaux coefficients budgétaires pour en déduire sa nouvelle composition à partir de cette date de révision.

Si pour un statisticien, le choix de coefficients budgétaires est une préoccupation secondaire, il n'en est pas du tout de même d'un éventuel investisseur qui s'intéresse d'autant plus à un indice boursier qu'il est en mesure d'interpréter [60] simplement [61] l'évolution de la juste valeur du portefeuille théorique de référence (cf. §1.1).

Pour construire le dernier maillon de son indice, l'homme de l'art retient le plus souvent, en pratique, une moyenne arithmétique d'indices élémentaires des cours boursiers des titres des entreprises qu'il a sélectionnées , en utilisant l'un des trois systèmes de pondération  (en) suivants :

  • qui conduit à l'indice boursier pondéré par les cours (« price-weighted index » en anglais) dont il a été question au §1.1 puisque : . Cette pondération par les cours consiste à retenir des coefficients budgétaires proportionnels aux cours en bourse relevés lors de la création du portefeuille de référence puis lors de ses révisions successives. Pour l'utilisateur, l'indice-maillon s'interprète alors comme étant celui de la juste valeur de la nue-propriété d'un portefeuille comprenant un même nombre de titres de chacune des entreprises appartenant à l'échantillon sélectionné lors de sa création puis à chaque date de révision.
  • qui conduit à l’indice boursier « équipondéré » (« equally weighted index » en anglais) dont il a été question au §1.1 puisque : . Cette pondération égale consiste à retenir des coefficients budgétaires égaux. Pour l'utilisateur, l'indice-maillon s'interprète alors comme étant celui de la juste valeur de la nue-propriété d'un portefeuille construit en rendant égales les différentes justes valeurs des titres détenus de chacune des entreprises appartenant à l'échantillon sélectionné lors de sa création puis à chaque date de révision.
  • qui conduit à l’indice boursier de capitalisation dont il a été question au §1.1 puisque : . Cette pondération par les capitalisations (« capitalization-weighted index » en anglais) consiste à retenir des coefficients budgétaires proportionnels aux capitalisations boursières [62] calculées lors de la création du portefeuille de référence puis lors de ses révisions successives. Pour un économiste, l' indice-maillon  (en) ainsi créé s'interprète alors comme étant celui de la juste valeur de la nue-propriété d'un gigantesque portefeuille construit puis révisé en retenant tous les titres émis par les différentes entreprises de l'échantillon sélectionné lors de sa création puis à chaque date de révision (capitalisation totale) ou seulement ceux considérés comme négociables sur le marché (capitalisation flottante). Pour un financier, la capitalisation d'une entreprise est une estimation spéculative [63], donc peu fiable, de son prix puisqu'elle varie sous l'effet de comportements tantôt euphoriques, tantôt déprimés, des opérateurs en bourse qui s'échangent chaque jour des volumes insignifiants de titres par rapport à ceux inscrits à la cote et comme le montre les énormes variations du prix des actions proposé aux actionnaires d'une société cible lors d'une OPA.

L'interprétation de l'indice-maillon de la juste valeur du portefeuille de référence déduit des capitalisations (totales ou flottantes) des sociétés de l'échantillon retenu par l'homme de l'art peut ainsi sembler bien théorique voire ésotérique à un investisseur qui se propose de s'inspirer des pondérations d'un indice de capitalisation pour construire concrètement son compte titres!

Indicateurs et indices boursiers

Quelques indicateurs boursiers sont appelés « indices boursiers » sans mesurer directement la variation relative d’une grandeur simple ou complexe entre deux dates : pour un statisticien ils ne sont donc ni « élémentaires » ni « synthétiques ». Il en est ainsi des averages publiés par le Wall Street Journal, en particulier le Dow Jones Industrial Average (DJIA) [64] (cf. §6.1) égal à la juste valeur en dollars de la nue-propriété d’un portefeuille-type théorique composé d’un même nombre fractionnaire [65] d'actions de trente entreprises industrielles américaines choisies selon le bon vouloir du rédacteur en chef du Wall Street Journal parmi les plus réputées, cotées au NYSE ou au NASDAQ.

D'autres indicateurs devraient être appelés « indices boursiers » [66] mais ne le sont guère souvent.

Remarque : Arrondir le DJIA à la deuxième décimale puis l'énoncer en points est absurde puisque cet indice boursier possède une unité [67] : le dollar [68] (cf. §6.1 - Dow Jones Industrial Average).

L'indice Value Line Geometric

Un indice boursier peut être synthétique sans être également l’indice élémentaire de la juste valeur d’un portefeuille-type. Il en est ainsi du Value Line Composite Index  (en) (VLG) égal à la moyenne géométrique simple [69] des indices élémentaires de plus ou moins-value des actions d’un échantillon composé d'un peu moins de 1 700 entreprises américaines (cotées aux États-Unis et au Canada). À l’aide de cette moyenne [70], la société new-yorkaise d'informations financières Value Line  (en) propose depuis de nombreuses années un classement des entreprises appartenant au portefeuille de référence : le groupe des plus performantes en rassemble une centaine (cf. Value Line Ranking System [71]).

Une formule de moyenne géométrique simple d'indices élémentaires a été proposée en 1863 par un Anglais, William Stanley Jevons, pour construire un indice synthétique des prix à la consommation.

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