Inclusion (mathématiques)

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Ne pas confondre avec la relation d' appartenance
L'ensemble A est inclus dans l'ensemble B. On dit que A est sous-ensemble de B, ou que B est sur-ensemble de A.

En mathématiques, l’inclusion est une relation d'ordre entre ensembles. On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont aussi éléments de B. On dit dans ce cas que A est un sous-ensemble ou une partie de B, ou encore que B est sur-ensemble de A.

Cette relation n'est pas symétrique a priori, car il peut y avoir des éléments du deuxième ensemble qui n'appartiennent pas au premier. Plus précisément, il y a inclusion dans les deux sens entre deux ensembles si et seulement si ces deux ensembles sont égaux.

L'inclusion se note majoritairement [1] avec le symbole « ⊂ » introduit par Schröder, même si beaucoup d'auteurs réservent ce symbole à l'inclusion stricte (c'est-à-dire excluant le cas d'égalité), suivant ainsi la norme ISO [2]. L'inclusion au sens large peut alors être notée avec le symbole « ⊆ » de Felix Hausdorff, par analogie avec les symboles de comparaison numériques. Pour lever l'ambiguïté, l'inclusion stricte peut aussi être notée « ⊊ », à ne pas confondre avec la négation de l'inclusion, qui se note « ⊄ » ou « ⊈ ». Tous ces symboles peuvent être renversés de droite à gauche pour représenter les relations réciproques.

Définitions

Soient deux ensembles A et B. Par définition, A est inclus (au sens large) dans B si tout élément de A est un élément de B. A est inclus (au sens strict) dans B si de plus AB.

Notations symboliques

En notation symbolique, l’inclusion au sens large est notée  ; donc par définition («  » désigne l' implication logique) :

AB signifie x (xAxB).

On peut aussi définir l'inclusion au sens large à partir de l'intersection ou de la réunion :

  • AB si et seulement si AB = A ;
  • AB si et seulement si AB = B.

est le symbole de l'inclusion stricte selon la norme ISO 31-11  (en) [3] de l' organisation internationale de normalisation (qui mentionne toutefois l'autre usage).
L'usage du symbole pour l'inclusion stricte s'explique par l'analogie avec le symbole < [4].

L’inclusion au sens strict est parfois notée  :

AB signifie AB et AB.

Variantes d'écriture : .

Terminologie

Inclusion au sens large

La relation peut se lire :

  • «  est inclus dans  »,
  • «  est une partie de  »,
  • «  est un sous-ensemble de  » [5].

et peut aussi s'écrire , qui se lit :

  • «  inclut  »,
  • «  est un sur-ensemble de  ».

Sont également utilisés «  contient  » et «  est contenu dans  », qui peuvent par ailleurs signifier .

Certains auteurs, tels que Paul Halmos [6] et George Boolos [7], recommandent d'utiliser systématiquement «  inclut  » et jamais «  contient  » pour traduire , afin d'éviter toute confusion avec l' appartenance.

Inclusion au sens strict

La relation peut se lire :

  • «  est strictement inclus dans  »
  • «  est une partie propre de  »,
  • «  est un sous-ensemble propre de  » [8].

Définition en compréhension

Une propriété des éléments d'un ensemble définit un sous-ensemble de celui-ci. Ainsi, en reprenant l'un des exemples ci-dessus, la propriété « être pair » définit, sur l'ensemble des entiers naturels N, l'ensemble 2N des entiers pairs. On dit que l'ensemble a été défini par compréhension et on note :

2N={nN | n est pair} = {nN | (∃qN) n=2q}

Toute propriété (quand on l'exprime dans un langage précis on parle de prédicat de ce langage) définit par compréhension un sous-ensemble d'un ensemble donné.

Ensemble des parties

L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E donné est appelé ensemble des parties de E, et noté habituellement « (E) », ou (écriture gothique) « (E) », voire simplement « P(E) » (lire dans tous les cas « P de E » ).
On a ainsi :

X(E)   si et seulement si   XE.

Par exemple si A = { a, b }, alors (A) = { Ø, { a }, { b }, A }.

Dans ce cas on aura par exemple aA, donc {a} ⊆ A, c'est-à-dire {a} ∈ (A).

Les propriétés de l'ensemble des parties, en particulier celles ayant trait à la cardinalité, sont détaillées dans l'article ensemble des parties d'un ensemble. Pour le cas fini, qui relève de la combinatoire, voir aussi l'article combinaison.

Fonction caractéristique

Un sous-ensemble A d'un ensemble E peut être défini par sa fonction caractéristique   , définie par χA(x) vaut 1 si x est élément de A, et 0 sinon :

et donc (χA étant à valeurs dans {0,1})

Réciproquement toute fonction χ de E dans {0,1} définit un sous-ensemble de E qui est {xE | χ(x) = 1}. On a donc une correspondance bijective entre les sous-ensembles de E et les fonctions de E dans {0,1}, c'est-à-dire entre (E) et {0,1}E.

Définition en théorie des types

 En , une formulation [9] de la théorie des types, l'inclusion est représentée par le terme défini comme l'abréviation du terme

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