Homéomorphisme

Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne l'homéomorphisme en topologie. Pour l'homéomorphisme en théorie des graphes, voir Homéomorphisme de graphes.
Une tasse est homéomorphe à un tore.

En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

Propriétés

  • Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
  • Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.En effet, tout fermé F de K est compact ; comme E est séparé, l'image de F par f est compacte, a fortiori fermée dans E. Donc, f est une bijection continue fermée, i.e. un homéomorphisme par le point précédent.
  • Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'application
    est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en (1, 0). En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le S1 et une partie de (par des arguments de connexité ou de simple connexité).
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