Histoire du calcul infinitésimal

L'histoire du calcul infinitésimal remonte à l'Antiquité. Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.

Précurseurs

Antiquité

La méthode d'exhaustion est connue d'Archimède ; à la suite de la découverte d'un palimpseste contenant le traité appelé La Méthode, on sait qu'il possédait également une forme rudimentaire d'intégration, reposant sur une variante du principe de Cavalieri.

XIVe siècle

Des notions sont élaborées en Inde, développées par l'école du Kerala.

XVIIe siècle

En Europe, au XVIIe siècle, deux problèmes passionnent les mathématiciens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste à retrouver, à partir d’une courbe quelconque, les différentes tangentes à la courbe. Le second réside dans le calcul de l'aire engendrée par une courbe. Plusieurs méthodes furent mises au point : la méthode des indivisibles, la méthode de la normale de Descartes, la méthode d'adégalisation de Fermat. C'est cette dernière méthode qui fut systématisée par le langage du calcul infinitésimal.

Méthode des indivisibles

Article détaillé : Méthode des indivisibles.
Statue de Bonaventura Cavalieri à Milan, sa ville natale

En Italie, dès 1620, Cavalieri développe la méthode des indivisibles[1], poursuivie par Torricelli (1643), puis l'école de Padoue.

À la mort de Cavalieri (1647), Pietro Mengoli prend sa succession pour 39 ans. Avec Stefano degli Angeli, il développe l'essentiel du calcul pour les séries (en particulier celle de ). Toute l'Europe accourt. En particulier, Gregory, élève de 1664 à 1668, ramènera en Angleterre la formule de Gregory-Leibniz.

Pascal de son côté, mène une réflexion approfondie, d'un point de vue philosophique, sur le concept d'infini ; son ouvrage, le Traité de la roulette, paraît en 1659. Wallis produit l' Arithmetica Infinitorum (Oxford, 1655) et popularise le symbole , ainsi que l'infinitésimal . Barrow enseigne Newton à Cambridge en 1661. En 1634, Roberval donne la quadrature de la cycloïde, et la tangente.

Pierre de Fermat, 1636

Pierre de Fermat

En 1636, Fermat livre une méthode générale de détermination des tangentes[2], utilisant à cette fin la méthode d'adégalisation (mot emprunté à Diophante).

Celle-ci consiste à considérer l'équation , à ôter aux deux membres, à simplifier par e l'équation obtenue, puis à poser e = 0 dans l'équation simplifiée[3].

C'est-à-dire, en langage moderne, l'opération
,
opérant ainsi passage à la limite et dérivation, termes inventés postérieurement.

Fermat affirma « il est impossible de donner une méthode plus générale » et « cette méthode ne trompe jamais, et peut s’étendre à nombre de questions très belles ». Il donne plusieurs exemples d'applications (parabole, cycloïde, etc).

Une importante controverse eut lieu avec Descartes qui avait lui-même publié ses propres méthodes de détermination des tangentes.

Le raisonnement de Fermat n’étant pas encore bien compris au milieu du XVIIe siècle, Huygens présenta à l’Académie des Sciences, en 1667, une communication dans laquelle il expliquait la méthode du savant toulousain ; il y mentionnait que e est une « quantité infiniment petite », en utilisant pour la première fois, d’ailleurs, l'expression « infiniment petit »[4].

Leibniz rencontra Huygens à Paris en 1672 et Huygens fréquenta la Royal Society à partir de 1663.