Hexagone

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Hexagone régulier

Type Polygone régulier
Arêtes 6
Sommets 6

Symbole de Schläfli {6}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.png CDel 6.png CDel node.png
CDel node 1.png CDel 3.png CDel node 1.png
Groupe de symétrie Groupe diédral D12
Angle interne 120°
Propriétés constructible

Un hexagone (du grec ἕξ = six et γωνία = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être de forme régulière ( polygone régulier) ou irrégulière (polygone irrégulier).

Un hexagone régulier est un polygone régulier de forme hexagonale dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120 °.

Les hexagones réguliers peuvent se juxtaposer les uns les autres sans laisser aucune lacune, tel des carrés ou/et des triangles équilatéraux.

  • Les hexagones réguliers permettent une utilisation la plus efficace :
    • de l'espace : dans la nature, les alvéoles d'abeilles sont hexagonales pour cette raison.
    • des matériaux de construction : les hexagones réguliers sont ainsi très utiles pour construire des pavages.

Enfin parmi les polygones, certains hexagones particuliers de forme irrégulière sont dénommés hexagones irréguliers.

Hexagone régulier

Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Propriétés générales

Relations métriques dans l'hexagone régulier

Maille hexagonale que l'on peut rencontrer dans un cristal bidimensionnel avec réflexion par rapport à une droite et rotations d'ordre 6 autour d'un point. L'hexagone est ainsi composé de six triangles équilatéraux.

L'hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.

Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l'hexagone régulier :

  1. longueur d'un côté, a ;
  2. apothème : ligne droite perpendiculaire à l'un des côtés qui rejoint le centre de l'hexagone ; sa longueur est notée h ;
  3. rayon du cercle circonscrit, r ;
  4. rayon du cercle inscrit, ri.

Nous avons ainsi les relations suivantes :

a = r
h = ri

Calcul de l'aire

L'aire d'un hexagone régulier de côté a est

L'aire d'un hexagone régulier dont le cercle inscrit a pour rayon ri est

Construction d'un hexagone régulier

Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le théorème de Gauss-Wantzel [1] : 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d' Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :

Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif
HexagonConstructionAni.gif
  • On construit un cercle C de centre O et de diamètre [AD];
  • Puis, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon [AO]: l'arc de cercle coupe le cercle C en B et en F; ( 3 )
  • Les diamètres de C passant par B et par F coupent le cercle en C et en E; ( 4 - 5 )
  • En joignant les points du cercle A, B, C, D, E et F, on obtient un hexagone régulier. ( 6 - 11 )

Symétrie

Pavage hexagonal.

Un hexagone possède 6 axes de symétrie :

3 axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, 3 axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.

Pavages

« Les ruches des abeilles étaient aussi bien mesurées il y a mille ans qu'aujourd'hui, et chacune d'elles forme cet hexagone aussi exactement la première fois que la dernière. » Pascal [réf. incomplète]

L'hexagone régulier permet de créer un pavage périodique.

Dans la nature
  • Il existe de nombreuses molécules et atomes qui prennent une forme hexagonale grâce à leurs liaisons covalentes :
    • En chimie, l'hexagone est le représentant d'un alcane cyclique : le cyclohexane.
    • Dans la nature, un autre élément fréquent à forme hexagonale est le flocon de neige. Les molécules d'eau qui les composent imposent des angles réguliers à ses cristaux.
  • Et à plus grande échelle macroscopique, cette forme est aussi visible dans notre environnement :
    • En géologie, les fentes de dessiccation et les coulées de lave refroidies prennent cette même configuration géométrique sous forme de colonnes basaltiques. La Chaussée des Géants en Irlande du Nord est un très bel exemple de ce type de refroidissement optimal d'une coulée basaltique en fusion.
    • Des bulles de savon s'organisent toutes en hexagones lorsqu'il y en a de trop dans un espace fermé. Elles prennent alors la forme d'hexagone, qui correspond ici à un optimum isopérimétrique.
    • Les alvéoles d'abeille, construits afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L'hexagone est une figure optimale, pour l'abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c'est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l'espace, l'hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre donné. Aucune autre figure permettant de paver l'espace n'utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l'œuvre de Pappus d'Alexandrie, un géomètre grec de l'antiquité.
    • La jonquille possède 6 pétales soudés en tube hexagonal autour de l'ovaire. En effet, c'est ici aussi la plus grande surface possible pour attirer les insectes en son sein.
    • Dans la dynamique des fluides, les flux en rotation produisent des structures instables, telles que des vortex. Ils sont à l'origine des tornades, mais aussi des courants et autres écoulements. La figure géométrique ainsi observable est appelée « seau de Newton » ou tout simplement un hexagone.
    • Au niveau de la région boréale du pôle Nord de Saturne, la sonde spatiale Cassini (2006 à 2013) et Voyager (1980) ont observé à 78 degrés de latitude nord une structure hexagonale. Elle a été observée depuis un point situé à 902 000 km au-dessus des nuages et est particulièrement persistante.
    • Les cellules de grille (grid cell) du cortex entorhinal médial des mammifères présentent un pattern hexagonal afin de représenter l'espace, participant ainsi à la mémoire et à la représentation spatiale.
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