Groupe (mathématiques)

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Les manipulations possibles du cube de Rubik forment un groupe.

En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l' algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.

La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d' addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes.

La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie [1]. Un groupe de symétrie décrit les symétries d'une forme géométrique : il consiste en un ensemble de transformations géométriques qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à composer de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les groupes de Lie continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences [2]. Les groupes généraux linéaires, par exemple, sont utilisés en physique fondamentale pour comprendre les lois de la relativité restreinte et les phénomènes liés à la symétrie des molécules en chimie.

Définition et illustration

Premier exemple : les entiers relatifs

Un des groupes les plus communs est l'ensemble des entiers relatifs ℤ, qui est constitué des nombres

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la définition générale donnée plus bas.

  1. Pour deux entiers quelconques a et b, la somme a+b est aussi un entier. En d'autres termes, le fait d'additionner deux entiers ne peut jamais mener à un résultat non entier. On dit que l'addition est une loi de composition interne.
  2. Pour tous entiers a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c). Littéralement, additionner d'abord a et b, puis ajouter c au résultat donne le même résultat final qu'ajouter a à la somme de b et c. Cette propriété est nommée associativité.
  3. Si a est un entier, alors 0 + a = a + 0 = a. Zéro est ce qu'on appelle un élément neutre pour l'addition, parce qu'ajouter 0 à tout entier renvoie cet entier.
  4. Pour tout entier a, il existe un entier b tel que a + b = b + a = 0. L'entier b est appelé l'élément symétrique de l'entier a et est noté −a (pour l'addition, on dit aussi opposé).

Définition

Les entiers relatifs, munis de l'opération « + », forment un objet mathématique qui appartient à une vaste classe d'objets partageant des similarités de structure. La définition formelle suivante, qui englobe l'exemple précédent et beaucoup d'autres, dont les groupes de symétries détaillés plus bas, permet de comprendre ces structures sans traiter chaque cas séparément.

Un groupe est un couple dont le premier terme est un ensemble G et le second une opération (on dit aussi loi de composition) sur cet ensemble « • » qui, à deux éléments a et b de G, associe un autre élément ab. Le symbole « • » est un signe général qui désigne une opération donnée, comme l'addition ci-dessus. On exige que la loi satisfasse quatre axiomes.

Loi de composition interne

Pour tous a et b éléments de G, le résultat ab est aussi dans G.

Associativité

Pour tous éléments a, b et c de G, l'égalité (ab) • c = a • (bc) est vraie.

Élément neutre

Il existe un élément e de G tel que, pour tout a dans G, ea = ae = a, "e" est appelé élément neutre du groupe (G, •).

Symétrique

Pour tout élément a de G, il existe b dans G tel que ab = ba = e, où e est l'élément neutre. b est appelé symétrique de a.

Bien que les axiomes ci-dessus puissent être affaiblis, l'ordre dans lequel l'opération est effectuée est en général important. Autrement dit, le résultat de la combinaison d'un élément a avec un élément b peut ne pas être le même que celui de la combinaison de b avec a ; l'égalité

ab = ba

n'est pas toujours vraie. Un groupe dans lequel on a toujours ab = ba est dit commutatif, ou abélien (en l'honneur de Niels Abel). Ainsi, le groupe additif des nombres entiers est abélien mais le groupe de symétrie décrit ci-dessous ne l'est pas.

Remarque sur le vocabulaire

  • Lorsque la loi est notée additivement
    • le symétrique est appelé opposé et l'opposé de a est noté −a
    • le neutre est souvent appelé zéro et noté 0.
  • Lorsque la loi est notée multiplicativement
    • le symétrique est appelé inverse et l'inverse de a est noté a−1
    • le neutre est parfois appelé unité et noté 1.

En pratique, on utilise plutôt la notation additive pour les groupes commutatifs (ou abéliens).

Deuxième exemple : un groupe de symétrie

Les symétries (c'est-à-dire les rotations et réflexions) d'un carré munies de la composition forment un groupe appelé groupe diédral et noté D4 ou D8, selon les auteurs. Pour des raisons indiquées dans l'article Groupe diédral, on adoptera ici la notation D8. Voici la liste des éléments de ce groupe :

Group D8 id.svg
id ( identité : chaque point est conservé)
Group D8 90.svg
r1 (rotation de 90° vers la droite)
Group D8 180.svg
r2 (rotation de 180°)
Group D8 270.svg
r3 (rotation de 270° vers la droite)
Group D8 fv.svg
fv (retournement vertical)
Group D8 fh.svg
fh (retournement horizontal)
Group D8 f13.svg
fd (retournement suivant la première diagonale)
Group D8 f24.svg
fc (retournement suivant la deuxième diagonale)
Les éléments du groupe de symétrie (D8). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations.
  • l' application identité, laissant tout inchangé, est notée id ;
  • les rotations de 90° , 180° et 270° vers la droite, notées respectivement r1, r2 et r3. Le centre de toutes ces rotations est le point d'intersection des diagonales du carré ;
  • les réflexions ayant pour axes les médiatrices des côtés du carré (fh et fv) ou ses diagonales (fd et fc).

Deux symétries quelconques peuvent être composées ; c'est-à-dire appliquées l'une après l'autre. Le résultat obtenu en exerçant a puis b est écrit symboliquement

ba (« appliquer la symétrie b après avoir appliqué a. » L'écriture de droite à gauche utilisée ici provient de la composition de fonctions.)

Le groupe D8 est décrit par la table de Cayley ci-contre. Il s'agit d'un tableau analogue aux tables de multiplications des écoliers. Ainsi, à l'intersection de la ligne fh et de la colonne r3 se trouve fd (case coloriée en bleu). Cela signifie que fh • r3 = fd. Autrement dit, appliquer au carré une rotation d'angle 270° vers la droite (r3) puis un retournement horizontal (fh) revient à lui appliquer un retournement suivant la première diagonale (fd).

Table de Cayley de D8
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Les éléments id, r1, r2, et r3 forment un sous-groupe, colorié en rouge (en haut à gauche). Deux classes à gauche et à droite suivant ce sous-groupe sont en vert (dernière ligne) et jaune (dernière colonne), respectivement.

Étant donnés cet ensemble de symétrie et l'opération décrite ci-dessus, les axiomes de groupes peuvent être compris ainsi :

  1. L'opération doit être une loi de composition interne : pour toutes symétries a et b, ba doit être aussi une symétrie du carré. Par exemple r3 • fh = fc
    c'est-à-dire que faire pivoter le carré de 270° vers la droite après l'avoir retourné horizontalement revient à l'avoir retourné suivant la deuxième diagonale (fc). Toutes les combinaisons de deux symétries donnent une symétrie, comme en atteste la table de Cayley ci-contre.
  2. L'hypothèse d'associativité traite de la composition de plus de deux symétries : soient trois éléments a, b et c de D8, il existe deux façons possibles de calculer « a puis b puis c ». La condition
    a • (bc) = (ab) • c
    signifie que la composition de trois éléments est indépendante de l'ordre de priorité des opérations. Cela peut aussi être vérifié en examinant la table de Cayley ci-contre. Par exemple, on peut remarquer que
    (fd • fv) • r2 = r3 • r2 = r1
    est égal à
    fd • (fv • r2) = fd • fh = r1
  3. L'élément neutre est la symétrie notée id, qui laisse tout invariant. Quelle que soit la symétrie a, composer a et id revient à appliquer a :
    id • a = a,
    a • id = a.
  4. Un élément symétrique est la transformation réciproque d'une symétrie donnée. Chaque symétrie peut être « défaite ». Chacune des transformations id, fh, fv, fd, fc et la rotation à 180° r2 est son propre symétrique, ce qui revient à dire qu'appliquer deux fois une de ces transformations revient à laisser le carré invariant. Les rotations r3 et r1 sont symétriques l'une de l'autre. Formellement, on écrit :
    fh • fh = id,
    r3 • r1 = r1 • r3 = id.

Au contraire du groupe des entiers déjà cité, l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations est important, dans D8 : fh • r1 = fc mais r1 • fh = fd. On dit que D8 n'est pas commutatif. On voit ici que la structure de groupe est plus délicate que le premier exemple sur les entiers pouvait le laisser supposer.

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