Gradient

Représentation du gradient d'un champ scalaire, les lignes bleues représentant les gradients de couleur, du plus clair au plus foncé

En mathématiques, le gradient est un vecteur représentant la variation d'une fonction par rapport à la variation de ses différents paramètres, généralisant la notion de dérivée d'une fonction dans le cas de plusieurs variables. En physique et en analyse vectorielle, le gradient est une grandeur vectorielle indiquant la façon dont une grandeur physique varie dans l'espace.

Il est courant, selon la façon de noter des vecteurs, d'écrire le gradient d'une fonction ainsi :

ou (nabla )

Souvent, en typographie, on préfère mettre un caractère en gras pour afficher son caractère vectoriel : .

Le gradient est d'une importance capitale en physique, où il fut d'abord employé. Utilisé en théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles. Il peut être intéressant d'en voir certains exemples avant d'en donner une définition plus mathématique.

Le gradient de température

Gradient dans une seule direction (dérivée)

Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que la température de la poutre n'est pas constante et qu'elle varie de façon croissante de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, c'est-à-dire à une variation le long de la poutre de la température, cf. Conduction Thermique, loi de Fourier.

Si on part de l'extrémité gauche de la poutre avec une abscisse x = 0 et qu'on atteint l'autre extrémité de la poutre pour une abscisse x = L (la longueur de la poutre), on définit la température en un point x qu'on écrit T(x). La température T est dite fonction de x.

Entre deux points très proches, distants d'une longueur δx, on mesure un écart de température δT. Au sens usuel, le gradient (de température) est justement le rapport entre ces deux grandeurs

Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si cette grandeur admet une limite quand δx tend vers 0, limite notée

Propriétés

  • Le rapport a un signe, ce qu'on traduit par un sens. Dans le cas qui nous intéresse, il fait plus froid à gauche de la poutre qu'à droite, donc le gradient est orienté vers la droite puisqu'on parcourt aussi la poutre de gauche à droite par l'abscisse x.
  • En dimension 1, il y a convergence de la notion de gradient et de dérivée.
  • En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesuré en K·m-1), ou plus usuellement en °C·m-1.

Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel

En réalité, la température de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point de l'espace, M, en fonction de ses coordonnées . De même que précédemment, on décrit la température comme fonction : T(x, y, z).

Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées y, alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour marquer la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite "ronde") plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit par exemple la variation le long de y ainsi l'approximation (dite du premier ordre) :

On se déplace dans la poutre d'un point M à un point M' tels qu'ils définissent le vecteur :

.

De M à M', la température passe de la T(x,y,z) à T(x+hx,y+hy,z+hz). En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de et s'exprime comme somme des variations liées à chacune des composantes de

On crée alors un vecteur appelé gradient de température

Notez que c'est bien un vecteur. Dans ce cas, on peut réécrire la relation précédente sous la forme

où "" est le produit scalaire usuel de et le symbole signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à .

Propriétés

  • Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝ3) alors que la température est fonction de support à trois dimensions mais à valeur réelle scalaire (i.e. la température en un point est un nombre, pas un vecteur).
  • La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D.
  • La norme du gradient de température est toujours homogène à K.m−1.
Other Languages
አማርኛ: አቀበት
беларуская: Градыент
беларуская (тарашкевіца)‎: Градыент
български: Градиент
bosanski: Gradijent
dansk: Gradient
English: Gradient
español: Gradiente
eesti: Gradient
euskara: Gradiente
فارسی: گرادیان
suomi: Gradientti
Gaeilge: Grádán
galego: Gradiente
עברית: גרדיאנט
magyar: Gradiens
Հայերեն: Գրադիենտ
Bahasa Indonesia: Gradien
íslenska: Stigull
italiano: Gradiente
ქართული: გრადიენტი
қазақша: Градиент
lietuvių: Gradientas
latviešu: Gradients
norsk nynorsk: Gradient
norsk: Gradient
ਪੰਜਾਬੀ: ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ
português: Gradiente
română: Gradient
русский: Градиент
srpskohrvatski / српскохрватски: Gradijent
Simple English: Gradient
slovenščina: Gradient
српски / srpski: Gradijent
svenska: Gradient
Türkçe: Gradyan
українська: Градієнт
oʻzbekcha/ўзбекча: Gradiyent
Tiếng Việt: Gradien
中文: 梯度