Géométrie différentielle

En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

La géométrie différentielle trouve sa principale application physique dans la théorie de la relativité générale où elle permet une modélisation d'une courbure de l' espace-temps.

Points de vue intrinsèque et extrinsèque

Jusqu'au milieu du e siècle, la géométrie différentielle voyait surtout un objet « de l'extérieur » (point de vue extrinsèque). Par exemple, on étudiait les propriétés d'une courbe depuis l'espace bidimensionnel (ou tridimensionnel pour une courbe gauche, c'est-à-dire non contenue dans un plan) pour donner un sens aux notions de point de contact, de tangente, de courbure, etc.

Toutefois on peut aussi mettre en évidence la courbure de la Terre, par exemple, sans jamais quitter sa surface, par des triangulations géodésiques, en constatant qu'en tant qu'espace à deux dimensions, elle ne se comporte pas de façon euclidienne (on peut par exemple y construire entre un pôle et deux points de l'équateur différant de 90 degrés de longitude un triangle trirectangle : la Terre a donc une courbure que l'on peut mettre en évidence sans faire référence à un espace extérieur. C'est le point de vue intrinsèque.

Comme exemple plus sophistiqué, le ruban de Moebius a une particularité topologiques (n'avoir qu'une seule face et non deux) ne nécessitant pas d'en sortir pour être mise en évidence. De même, la bouteille de Klein est une surface (c'est-à-dire une variété de dimension 2) mais pour la plonger dans un espace ambiant il faut choisir ℝ4. De même, il n'est pas évident de trouver un espace « contenant » l'espace-temps courbé. Cependant, la flexibilité gagnée se traduit en une abstraction et une difficulté accrues pour définir les notions géométriques comme la courbure ou topologiques comme la connexité.

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