Formule de Moivre

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Moivre.
Abraham de Moivre a donné son nom à la formule.

La formule de Moivre[a] affirme, pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif n :

Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de – 1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.

Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques « cosinus » et « sinus ». Parfois la formule est réécrite en remplaçant « cos (x) + i sin (x) » par « exp(ix) ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance n, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.

Interprétation géométrique

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaires.

Pour x réel, l'égalité « cos2x + sin2x = 1 » entraîne que le nombre complexe « z=cos(x) + i sin(x) » est de module égal à 1. Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de module 1 forment le cercle C de centre O et de rayon 1 (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe z appartient à C. Si M est le point d'affixe 1, l'angle (OI, OM) mesure x radians. La formule de Moivre affirme que zn est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure nx radians.

La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si z et w sont deux nombres complexes de module 1, on place les points M et N d'affixes respectives z et w, et on obtient zw comme l'affixe du point P de C tel que (OI, OP) = (OI, OM) + (OI, ON). On dispose alors de la formule générale :

Other Languages
العربية: صيغة دي موافر
azərbaycanca: Muavr düsturu
čeština: Moivreova věta
ភាសាខ្មែរ: រូបមន្តដឺម័រ
Simple English: De Moivre's formula
slovenščina: De Moivreova formula
српски / srpski: Моаврова формула
українська: Формула Муавра
oʻzbekcha/ўзбекча: Muavr formulasi