Formule (mathématiques)

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En logique et en mathématiques, une formule est une suite finie d'objets, dotée de propriétés particulières qui rendent possible la syntaxe dans tous ces domaines.

Définition

Étant donnés un ensemble E et une fonction de poids p: E →N, une formule est un mot extrait de E obtenu par les deux règles de construction suivantes [1] :

  1. un seul élément de E de poids 0 est une formule ;
  2. si t est un élément de poids n, pour toute suite de n formules F1, F2, ...., Fn, le mot concaténé tF1F2....Fn est une formule.

On reconnaît les « mots significatifs » qui forment un sous-ensemble du monoïde libre Lo(E) construit sur E [2], [3].

La notation théorique introduite ici est celle dite de Łukasiewicz ou « notation polonaise » ; mais la notation communément utilisée en algèbre et en analyse est celle à parenthèses t(F2, ...., Fn) ; si t est de poids 2, on écrit (F1)t(F2) au lieu de tF1F2, et

[r(F1, ...., Fm)] t [s(G1, ...., Gn)] au lieu de trF1 ....FmsG1....Gn.

Étant donnée une formule F, tout intervalle de F qui est une formule en est une sous-formule. Ainsi, F1, rF1....Fm, sG1....Gn sont des sous-formules de trF1 ....FmsG1....Gn.

Si F = tF1F2....Fn, les Fi 1≤i≤n sont les sous-formules immédiates de F.

Dans tout ensemble de formules, la relation binaire « F est une sous-formule de G » est une relation d'ordre : réflexive, antisymétrique et transitive.

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