Forme modulaire

En mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d' équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l' analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec la théorie des nombres.

En tant que fonction sur les réseaux

Au niveau le plus simple, une forme modulaire peut être pensée comme une fonction F de l'ensemble des réseaux Λ dans ℂ, vers l'ensemble des nombres complexes, qui satisfait les conditions suivantes :

  1. si nous considérons le réseau Λ = 〈α, z〉 engendré par une constante α et une variable z, alors F(Λ) est une fonction analytique de z ;
  2. si α est un nombre complexe différent de zéro et αΛ est le réseau obtenu en multipliant chaque élément de Λ par α, alors F(αΛ) = α–kF(Λ) où k est une constante (généralement un entier positif) appelé le poids de la forme ;
  3. la valeur absolue de F(Λ) reste bornée inférieurement tant que la valeur absolue du plus petit élément différent de zéro dans Λ est loin de 0.

Lorsque k = 0, la condition 2 dit que F dépend seulement de la classe de similitude du réseau. Ceci est un cas particulier très important, mais les seules formes modulaires de poids 0 sont les constantes. Si nous éliminons la condition 3 et permettons à la fonction d'avoir des pôles, alors les exemples de poids 0 existent : elles sont appelées fonctions modulaires. La situation peut être comparée avec profit à ce qui arrive dans la recherche de fonctions de l' espace projectif P(V). Avec ces paramètres, on souhaiterait idéalement des fonctions F sur l'espace vectoriel V qui soient polynomiales en les coordonnées d'un vecteur non nul v de V et qui satisfont à l'équation F(cv) = F(v) pour tout c différent de zéro. Malheureusement, les seules fonctions de cette sorte sont les constantes. Si nous permettons les fonctions rationnelles à la place des polynômes, nous pouvons laisser F être le rapport de deux polynômes homogènes de même degré. Ou nous pouvons garder les polynômes et perdre la dépendance de c, laissant F(cv) = ckF(v). Les solutions sont alors les polynômes homogènes de degré k. D'un côté, celle-ci forment un espace vectoriel de dimension finie pour chaque k, et de l'autre, si nous laissons k varier, nous pouvons trouver les numérateurs et les dénominateurs pour la construction de toutes les fonctions rationnelles qui sont les fonctions de l'espace projectif P(V). On pourrait demander, puisque les polynômes homogènes ne sont pas réellement les fonctions sur P(V), que sont-elles, géométriquement parlant ? La géométrie algébrique répond qu'elles sont des sections d'une gerbe (on peut dire aussi un faisceau de droites dans ce cas). La situation avec les formes modulaires est précisément analogue.

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