Foncteur

En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.

Définitions

Un foncteur (ou foncteur covariant) F : d'une catégorie dans une catégorie est la donnée

  • d'une fonction qui, à tout objet X de , associe un objet F(X) de ,
  • d'une fonction qui, à tout morphisme f : XY de , associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de ,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet X de ,
  • respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : XY et g : YZ de ,

Un foncteur contravariant G d'une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée op dans . À tout morphisme f : XY de , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f) ∘ G(g).

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