Extremum

Page d'aide sur les redirections « Maximum » et « Minimum » redirigent ici. Pour les autres significations, voir Maximum (homonymie) et Minimum (homonymie).
Les deux pluriels du substantif « maximum » étant « maxima » et « maximums », consulter pour d'autres sens de ce dernier la page Maxima Ce lien renvoie vers une page d'homonymie.

Sur les autres projets Wikimedia :

L'expression « élément extremum » signifie « élément maximum » ou « élément minimum ».

Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, sous condition d'existence, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De manière analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.

Généralités

Unicité

Si une partie A de E admet deux maxima, m1 et m2, alors m1 est plus grand que tout élément de A, donc en particulier que m2 ; et de même, m2 est plus grand que m1. Par antisymétrie des relations d'ordre, l'égalité m1 = m2 s'en déduit.

Comparaison avec d'autres notions

D'autres notions relatives aux ensembles ordonnés sont proches de celles de maximum ; les comparer permet de mieux les appréhender :

  • La notion de majorant : un élément de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout élément de A. Ainsi, le maximum (s'il existe) fait partie des majorants ;
  • La notion de borne supérieure : la borne supérieure de A est le plus petit de tous les majorants de A dans E (la borne supérieure de A est donc définie comme le minimum d'une certaine partie de E et son unicité est garantie mais pas son existence). A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure existe et appartient à A (et dans ce cas, elle est égale au maximum), ainsi que la notion associée de borne inférieure ;
  • La notion d'élément maximal : un élément de A est maximal dans A, s'il appartient à A, et n'est inférieur à aucun autre élément de A. Un maximum est toujours un élément maximal, et les deux notions coïncident dans les ensembles munis d'un ordre total.

Exemples

Dans l'ensemble N des entiers naturels muni de son ordre usuel, toute partie non vide admet un plus petit élément et toute partie majorée (c'est-à-dire admettant un majorant) est finie donc admet même un maximum. Par exemple N lui-même a pour minimum 0 et n'a pas de maximum.

Dans l'ensemble R des nombres réels muni de son ordre usuel, certaines parties majorées n'admettent pas de plus grand élément, par exemple l'intervalle ]0, 1[ des nombres strictement compris entre 0 et 1.

Dans R, les fonctions minimum et maximum d'une paire peuvent s'exprimer à l'aide de valeurs absolues :

.

Dans un ensemble ordonné muni d'un ordre non total, certaines parties admettent des éléments maximaux qui ne sont pas des maxima.

Par exemple dans l'ensemble E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} des parties de l'ensemble {0, 1}, ordonné par l'inclusion, la partie A = {∅, {0}, {1}} admet (un minimum et) deux éléments maximaux non comparables donc pas de maximum (seulement une borne supérieure : {0, 1}, qui n'appartient pas à A).

Une fonction f (bleu) et sa dérivée (rouge). 🞯-maximum global de f, ☐-minimum global de f, -maximum local de f, +-minimum local de f, ╳-point d'inflexion.
Other Languages