Espace vectoriel

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire et en algèbre générale, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.

Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article introductif Vecteur.

Espace vectoriel

Définitions

Soit K un corps [1], [2], comme le corps commutatif des rationnels, celui, , des réels [3] ou celui, , des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).

Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :

telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.

1. (E,+) est un groupe abélien, autrement dit :
c'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v et w de E :
u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w
0E + v = v u + (–u) = 0E
2. La loi « • » vérifie les propriétés suivantes :
  • elle est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E et à droite par rapport à l'addition du corps K,
  • elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans K),
  • l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour • [N 2],
c'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v de E et tous scalaires λ, μ :
λ•(u + v) = (λ•u) + (λ•v) (λ + µ)•u = (λ• u) + (µ • u)
(λμ)•u = λ•(µ•u) 1•u = u

De l'axiome 1, il découle que E est nécessairement non vide. En effet E contient au moins 0E.

Les axiomes 1 et 2 impliquent que 0E est « absorbant à droite » pour la loi • (i.e. le produit de 0E par un scalaire quelconque vaut 0E) et que le produit d'un vecteur quelconque de E par le scalaire 0K (l'élément neutre additif du corps K) vaut aussi 0E. En effet λ•0E = λ•(0E + 0E) = λ•0E + λ•0E et en ajoutant l'opposé de λ•0E dans chaque membre on a 0E = λ•0E. On procède de même pour montrer que 0K. u = 0E.

Enfin, –v (l'opposé de v) est le produit de v par le scalaire –1, ce qui résulte de la propriété précédente et de l'axiome 2. On a donc pour tout vecteur u de E et tout scalaire λ [4] :

0Ku = 0E λ•0E = 0E (–1)•u = u

Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.

Exemples

Article détaillé : Exemples d'espaces vectoriels.
Les fonctions continues forment un -espace vectoriel, noté C0(, ).

Voici quelques exemples d'espaces vectoriels qui servent entre autres en analyse ou en géométrie :

  • L' espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels  (en) sur K.
  • Tout corps K se présente comme un K-espace vectoriel. L'addition et la multiplication de K fournissent respectivement l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.
  • Plus généralement, l'ensemble des n-uplets d'éléments de K, muni des lois usuelles, forme l' espace vectoriel Kn.
  • Les matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K forment l' espace Mn,p(K).
  • Si K est commutatif, toute extension de corps de K, c'est-à-dire tout plongement de K dans un corps L, munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K.
  • L'ensemble C0(X) des fonctions continues réelles ou complexes définies sur espace topologique X est un espace vectoriel (réel ou complexe).
  • L'ensemble des (germes de) solutions d'une équation différentielle linéaire homogène est un espace vectoriel (réel ou complexe).
  • L'ensemble des suites numériques satisfaisant une relation de récurrence linéaire est un espace vectoriel réel.

Espaces vectoriels sur un corps non commutatif

La définition ci-dessus est celle des espaces vectoriels à gauche sur K. Les espaces vectoriels à droite sur K sont les espaces vectoriels à gauche sur le corps opposé à K. Si le corps K est commutatif, les notions d'espaces vectoriels à gauche et à droite coïncident, et l'on peut alors noter à gauche ou à droite (au choix) la multiplication par un scalaire.

Les notions de la théorie des espaces vectoriels qui ne sont valables, avec les définitions usuelles, que lorsque le corps est commutatif sont notamment celles liées à la multilinéarité ( déterminant, trace, produits tensoriels, algèbre extérieure, algèbre sur un corps commutatif) ou aux fonctions polynomiales. Même si l'on ne se sert pas de ces notions, il faut faire attention à divers détails lorsque le corps de base n'est pas supposé commutatif. Par exemple, les homothéties n'existent (en tant qu' applications linéaires) que si le facteur scalaire est central dans le corps, et la multiplication scalaire doit être écrite du côté opposé des applications linéaires (donc avec le scalaire à droite si les applications linéaires sont notées à gauche de leurs arguments).

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